Теория вероятностей и ее применение Сергей Постников сумма Верояюность выпадения суммы для 2 костей

Содержание Теория вероятностей.Теория вероятностей. Основные определения.Основные определения. Нормальное распределение.Нормальное распределение. Метод Монте-Карло.Метод Монте-Карло. Заключения и задания.Заключения и задания.

Теория вероятностей Теория вероятностей широко применяется в экономике, биологии, физике, медицине, численных расчетах, играх и т.д. Также она является основной в квантовой физике и описании случайных элементарных процессов, например в рождении частиц, в ядерных распадах и ускорителях частиц. Анализ измерений в экспериментах и их определение требует знания основ этой теории. «Раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. » Например совершенно случайное выпадение числа на грани кости (die) будет иметь определенное распределение вероятностей для выпадения суммы на нескольких костях. В случае большого числа костей это распределение стремится к нормальному. (которое мы обсудим далее)

Случайная величина и верояюность Случайная величина это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно (100%) предсказать.» В примере с игральной костью это число выпадающее на верхней грани кубика. «Вероя́юность (вероятностная мера), обознается латинской P численная мера возможности наступления некоторого события (обычно от 0 до 1). Согласно определению П. Лапласа, мерой вероятности называется дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель число всех равновозможных случаев.» Например выпадение одного из 6 чисел игральной кости равно 1/6, это примерно 0.17 или 17% (для перевода в % умножаем дроби на 100%). P(любое число)=P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=1/6 Тогда сумма вероятностей выпадения каждого из возможных событий будет равна 1 или 100%, что то да обязательно выпадет. Для кости это Σ p(i) = 1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=1, сумма вероятностей выпадения единицы, двух и т.д до шестёрки (i=1,2,...6). Верояюность события которое никогда не случиться приравнивается к нулю. Например 7-ка никогда не выпадет сколько не бросай кубик: Р(7)=0

Нормальное распределение (распределение Гаусса) Аналитическая функция очень важная в физике, математике и других областях. μ – среднее значение (математическое ожидание), указывает положение максимума на оси x, в теории вероятности означает что событие когда x = μ наиболее вероятно. σ – дисперсия (от анг. «dispersion» - разбросанность), задает ширину кривой в направлении оси x, в теории вероятности отображает насколько результаты события x имеющие значимую верояюность (ближе к максимуму чем к нулю) разбросаны около среднего значения μ, и обозначается как: Результат измерения находится в этом интервале с верояюностью 68.2% Коэффициент перед экспонентой делает площадь под кривой равной 1.

Случайная ошибка измерения Стандартная ошибка измерения отображает что результат находится в данном интервале с верояюностью 68.2%. Удвоенный интервал дает 95.4% уверенности, и также называют как «две сигмы». x Площадь под кривой нормального распределения в данном интервале дает верояюность его осуществления. Пример: измерение напряжения батарейки вольтметром, электронный шум.

Метод Монте-Карло Численный метод расчета основанный на случайном процессе и теории вероятности. Позволяет ускорить расчеты на компьютере и решать очень сложные задачи. Пример с расчетом площади фигуры на плоскости. L L Площадь квадрата посчитать легко. Но для фигуры сложной формы уже труднее. Если вокруг фигуры построить квадрат известной площади (A=LхL=L 2 ) и случайно «бросать» точки внутри него распределенные равновероятно, можно посчитать её площадь с заданной точностью. Если число всех «брошенных» точек N, а попавших внутрь фигуры (зеленых) n то верояюность попадания равна: p(in)=n/N. Соответственно верояюность непопадания (красных): p(out)=(N-n)/N=1-(n/N)=1-p(in). Тогда площадь фигуры S рассчитывается как S=p(in)·A=(n/N)·(L 2 ) Важно чтобы количество «брошенных» точек N было велико, чем оно больше тем точнее будет результат. Вы разберете примеры на семинаре.

Заключения и задания Случайные события имеют свои законы и закономерности. Их изучает теория вероятностей. Применение законов вероятности широко распространено во многих областях знаний. Нормальное распределение встречается очень часто. Простейший пример численного случайного метода расчета, называемого метод Монте-Карло. 1. Придумайте или найдите примеры простых равновероятных случайных событий подобных игральным костям. Что является случайной величиной в их случае и какова верояюность одного события? 2. Найти примеры где встречается нормальное распределение и как им пользуются? 3. Разобрать примеры и выполнить семинарские задания: с монетой, с костями, с нормальным распределением, с ошибкой измерения и опробовать метод Монте-Карло на площади круга.