Тригонометрические уравнения

Уравнения, содержащие переменную под знаком тригонометрических функций, называются тригонометрическими. Простейшие тригонометрические уравнения c o s x = a,X = arccosa+2 s i n x = a, t g x = a X= x = a r c t g а+ c t g x = a x = a r c c t g а +

a r c s i n a =t,s i n t =a, a r c c o s a = t, c o s t = a, a r c t g a = t, t g t = a, a r c c t g a = t, c t g t= a,

Какие из выражений не имеют смысла? a r c s i na r c c o s a r c t g a r c s i n

Решите уравнение 1. c o s x =- 0,3 2. s i n x = - 0,3 3. s i n x = 2a-1 x= ±(π-arccos0,3)+2πn x= (-1) n arcsin0,3+πn

Решение: 2. Если 2 а-1 1 (a 1) – решений нет 1.Если, т.е.0 а 1 –уравнение имеет решение х = (-1) n a r c s i n (2a-1)+π n,n ЄZ Ответ: x=(-1) n arcsin(2a-1)+πn, nЄZ при 0 а 1; решений нет при а 1

Sin (2x - ) = Sin (2x - ) = 1) ) f (a) = a + 1 > 0 f (a) = a + 1 > 0 f (a) = 0 a > - 1 f (a) = 0 a > - 1 a = 0, a -1 a = 0, a a 0 3. a 0 3) 2x - = (-1) n a r c s i n + П n 2x = a r c s i n + + П n 2x = a r c s i n + + П n x =(-1) n a r c s i n + + П n/2 x =(-1) n a r c s i n + + П n/2 Ответ: при а 0 x = a r c s i n + + П n/2, n Є Z.

Основные методы решения тригонометрических уравнений 1. Метод замены переменной 2. Метод разложения на множители 3. Однородные тригонометрические уравнения

Лейбниц «Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели.»

Какими методами решаются следующие уравнения ? 1. c o s² x – 5 c o s x + 4 = 0, 2. sin x – 2 s i n x c o s x = 3 c o s² x 3. sin x - 3 s i n x =0 4. s i n 2x = c o s 2x 5. sin 2x + sin 3x + sin 4x =0

Алгоритм решения уравнения a sinx+b s i n x c o s x + c c o sex =0 1. Посмотреть есть ли в уравнении член asinix 2. Если член asinix в уравнении содержится, то уравнение решается делением обеих частей уравнения на cosex и последующим введением новой переменной z = t g x 3. Если член asinix в уравнении не содержится, то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносится c o s x.

Решите самостоятельно Вариант sin 2x +2sin2x-1=0 2.4sin x +sinxcosx-3cosex=0 Вариант sin 2x - s i n 2x-1=0 2. sin x - 2sinxcosx-3cosex=0 Дополнительное задание:

Проверь себя! 1. Пусть s i n 2x=t, тогда 3t²-2t-1=0, t = -1,t = s i n 2x= -1, s i n 2x= x= - x= 2. Разделим на cosex,получим 4tg²x+tgx-3=0, откуда получим t g x= -1 или t g x= Ответ: х = -, х = a r c t g + 1. Пусть sin2x=t тогда 6t²-t-1=0, Разделим на cosex,получим 2. Разделим на cosex,получим t g 2 x -2t g x-3=0, t g x=3 или t g x = -1 x=a r c t g 3+π n или x= Ответ : а r c t g 3+π n или x= t g 2 x -2t g x-3=0, t g x=3 или t g x = -1 x=a r c t g 3+π n или x=

I 3ctg x-5I- =0 I 3ctg x-5I= Так как корень всегда положителен, имеем право возвести выражение в квадрат. - =0 - =0 (3c t g x -5 –c t g x-2)(3c t g x-5+c t g x+2)=0 (2c t g x-7)(4c t g x-3)=0 2c t g x-7=0 или 4c t g x-3=0 2c t g x=7 4c t g x=3 c t g x= c t g x= x=a r c c t g + пк x=a r c c t g + пк, где «k» принадлежит множеству целых чисел.

Домашнее задание: по группам (профильный задачник) I группа: 23.31(а) II группа: 23.38(б) Общее задание: 23.15,23.17,23.18(б)

Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно. А. Энштейн