специальные вопросы ТВиМС часть 3 показатели распределения с.в. лекция третья

УСРЕДНЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОТ с.в. Рассмотрим одномерную с.в. с ф.р. F ( ), и функцию от с.в. g ( ) Одной из важнейших операций над функциями от с.в. является усреднение. Def Средним значением g ( ) по распределению с.в. называется значение интеграла: Важно: Это не мат.ожидание g ( )!!! Мат.ожидание g ( ) – это усреднение по собственному распределению g ( )

ХАРАКТЕРИСТИКИ ОДНОМЕРНОЙ с.в. Def Для степенной функции g k ( )= k с показателем k усреднение называется начальным моментом порядка k: Def Для центрированной степенной функции с показателем k g k ( )=( -m 1 ) k усреднение называется центральным моментом порядка k: Выразите 2, 3 и 4 центральный моменты через начальные моменты младших порядков

ПОКАЗАТЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ одномерной с.в. Группы показателей распределения одномерной с.в.: Показатели центра Показатели неоднородности Показатели формы

ПОКАЗАТЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ одномерной с.в. Показатели центра распределения одномерной с.в.: 1. Медиана Me: F (Me)= Мода Mo=argmax f (x) 3. Средние степенные c k =(m k ) 1/k =(E k ) 1/k, k c 1 =m 1 =E - мат.ожидание (ср. арифметическое) c -1 =1/m -1 =1/E(1/ ) =H - ср. гармоническое c 0 =G =exp[E(ln )]=lim(m k ) 1/k,k 0 – ср. геометрическое Предельные случаи: c + =sup =lim(m k ) 1/k, k + c - =inf =lim(m k ) 1/k, k -

ПОКАЗАТЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ одномерной с.в Показатели центра распределения одномерной с.в.: Упраженения Докажите утверждения: c k =(m k ) 1/k c + =sup =lim(m k ) 1/k, k + c - =inf =lim(m k ) 1/k, k - c 0 =G =exp[E(ln )]=lim (m k ) 1/k, k 0 Для случая равновероятного распределения с.в. (дискретной и непрерывной) Для случая конечной дискретной не равновероятно распределенной с.в.

ПОКАЗАТЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ одномерной с.в Показатели неоднородности распределения с.в.:

ПОКАЗАТЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ одномерной с.в Показатели неоднородности распределения с.в.:

ПОКАЗАТЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ одномерной с.в Показатели формы распределения с.в.:

ПОКАЗАТЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ многомерной с.в Показатель центра: =( 1 ;…; n ) M 1 =(m 11 ;…; m 1n )=E g 1 ( )=(E 1 ;…;E n ): многомерный первый момент, мат.ожидание многомерной с.в. Пример: =( 1 ;…; n ) - оценки по предметам зимней сессии M 1 =(E 1 ;…;E n ) – средняя успеваемость

ПОКАЗАТЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ многомерной с.в Свойства мат.ожидания многомерной с.в. : =( 1 ;…; n ), a=(a 1 ;…;a n ) n,, A kxn 1.E( + a)=E + a 2.E( )= E 3.E(A T )=A E T 4.E( a T )=E(a T )=E( i a i )= E( i a i )= (a i E( i )) 5. Если компоненты и η попарно независимы, то: E(η T )=(Eη) T E и E( η T )=E (Eη) T Докажите эти свойства!

ПОКАЗАТЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ многомерной с.в Показатель вариации:

ПОКАЗАТЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ многомерной с.в Показатель вариации: V=Cov( )=E[( -E ) T ( -E )] – многомерный второй центральный момент, ковариационная матрица с.в.

ПОКАЗАТЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ многомерной с.в Показатель вариации:

ПОКАЗАТЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ многомерной с.в Показатель вариации: Пример: R – показывает взаимосвязь учебных курсов - показывает неоднородность оценивания

ПОКАЗАТЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ многомерной с.в Свойства ковариационной и корреляционных матриц:

ПОКАЗАТЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ многомерной с.в Свойства матрицы ковариаций многомерной с.в. : =( 1 ;…; n ), a=(a 1 ;…;a n ) n, A kxn, 1.V( + a)=V 2.V( )= 2 V 3.V(A T )= A V A T 4. Если компоненты попарно независимы, то: V( a T )=V(a T )=V( ( i a i ))= V( i a i )= (a 2 i V( i )) Докажите эти свойства!

ПОКАЗАТЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ многомерной с.в Свойства ковариационной матрицы Упражнение Для двумерного случая: 1. Проверьте положительную определенность 2. Найдите det, tr 3. Найдите -1, -1/2, 1/2

ПОКАЗАТЕЛИ УСЛОВНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ с.в Условное мат.ожидание и условная дисперсия Пример: E( 1 | 2 ) – средний доход в определенной группе респондентов D( 1 | 2 ) – вариация дохода в данной группе респондентов

УСЛОВНОЕ МАТ.ОЖИДАНИЕ с.в Свойства условного мат.ожидания 1. E 2 ( 1 | 2 )= 1 | 2 : 1 по отношению к 2 является константой - нечего усреднять 2. E 1 (g(x 2 )· 1 | 2 )= g(x 2 ) E 1 ( 1 | 2 ): g(x 2 ) по отношению к 1 является константой – можно вынести за знак мат.ожидания 3. E ( 1 ; 2 ) (h(x 1 ;x 2 ))= E 2 [E 1 (h(x 1 ;x 2 )| 2 )]: усреднять можно последовательно: сперва по одной компоненте при фиксированной второй, а затем - усреднить полученный результат по второй компоненте

УСЛОВНОЕ МАТ.ОЖИДАНИЕ с.в 3. E ( 1 ; 2 ) (h(x 1 ;x 2 ))= E 2 [E 1 (h(x 1 ;x 2 )| 2 )] Доказательство:

УСЛОВНОЕ МАТ.ОЖИДАНИЕ с.в 3. E ( 1 ; 2 ) (h(x 1 ;x 2 ))= E 2 [E 1 (h(x 1 ;x 2 )| 2 )] Доказательство:

УСЛОВНОЕ МАТ.ОЖИДАНИЕ с.в Пример: 1; 2 – независимы и одинаково распределены. Найти M=E 1 ( 1 | =z) Решение: M=E 1 ( 1 | =z)=E 1 ( 1 | 1 =z- 2 )=E 1 (z- 2 )=z- 2 M= z- 1 в силу одинаковой распределенности 2M=2z =2z-z=z M=z/2

УСЛОВНОЕ МАТ.ОЖИДАНИЕ с.в Упражнение: Дискретная двумерная с.в. =( x ; y ) ξ ,060,030,010,00 00,050,250,350,05 10,010,020,070,10 Найти

УСЛОВНАЯ ДИСПЕРСИЯ с.в Свойства условной дисперсии 1. V 2 ( 1 | 2 )=0: 1 по отношению к 2 является константой – вариация равна нулю 2. V 1 (g(x 2 )· 1 | 2 )= g(x 2 ) V 1 ( 1 | 2 ) g T (x 2 ): g(x 2 ) по отношению к 1 является константой – можно вынести за знак дисперсии с квадратом 3.V(y)= V 2 [E 1 ( 1 | 2 )]+ E 2 [V 1 ( 1 | 2 )] : формула разложения дисперсии на межгрупповую и внутригрупповую.

НАИЛУЧШИЙ ПРЕДИКТОР

НАИЛУЧШИЙ ЛИНЕЙНЫЙ ПРЕДИКТОР FOC (УСЛОВИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА):

НАИЛУЧШИЙ ЛИНЕЙНЫЙ ПРЕДИКТОР FOC (УСЛОВИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА): SOC (УСЛОВИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА):

НАИЛУЧШИЙ ЛИНЕЙНЫЙ ПРЕДИКТОР FOC (УСЛОВИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА):

НАИЛУЧШИЙ ЛИНЕЙНЫЙ ПРЕДИКТОР FOC (УСЛОВИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА):

НАИЛУЧШИЙ ЛИНЕЙНЫЙ ПРЕДИКТОР

НАИЛУЧШАЯ ЛИНЕЙНАЯ АПРОКСИМАЦИЯ УСЛОВНОГО СРЕДНЕГО Упражнение: докажите аналогично предыдущему

КОНЕЦ ЛЕКЦИИ