СИСТЕМИ РІВНЯНЬ ВІД ДАВНИНИ ДО СЬОГОДЕННЯ Гуменюк Інна Володимирівна Студентка 5 курсу Національного педагогічного університету імені М.П.Драгоманова, м. Київ, спеціальності «Математика, інформатика та адміністрування навчальних компютерних систем». Науковий керівник: к. ф.-м. н., доц. Верпатова Н.Ю.

Задачі й теореми, що доведені сотні тисяч років тому, захоплюють нас своєю красою, витонченістю логічних міркувань так само, як захоплювали всі попередні покоління.

Алгебра виникла з розвязанням практичних задач які зводилися до рівнянь та систем рівнянь. Вчення про рівняння та системи рівнянь є однією з головних ліній шкільного курсу алгебри і у наш час. Глейзер Г.І. відмічає, що задачі на складання і розвязування системи рівнянь першого степеня з двома невідомими зустрічаються у вавилонських та єгипетських текстах ІІ ст. до н.е, в працях давньогрецьких, індійських та китайських вчених

Герш Ісакович Глейзер Герш Ісакович Глейзер (1904р.1967р.) Молдавський радянський математик, педагог та історик математики, кандидат педагогічних наук. Автор навчальних посібників і довідників з історії математики, переведених на кілька іноземних мов.

Вавилон Найдавнішими джерелами на початку ІІ ст. до н.е., які свідчать про зародження алгебри в давні часи, є Вавилонські глиняні дощечки. В них містяться багато задач, що розвязуються за допомогою повних квадратних рівнянь і систем лінійних та квадратних рівнянь з двома змінними.

Китай Про високий рівень розвитку алгебри в давньому Китаї свідчить широке використання тотожних перетворень, наведення різних способів розвязування рівнянь та систем рівнянь у математичних творах.

В VII-VIII книгах китайського трактату «Математика в девяти книгах» розглядаються системи рівнянь та наводяться короткі правила їх розвязання. Коефіцієнти системи рівнянь розміщували на рахунковій дошці у вигляді таблиці – прообраз сучасної матриці, а потім поступово перетворювали цю таблицю способом, що нагадує дії над стовпчиками матриць у сучасному вигляді. Послідовне виключення невідомих приводило до обчислення розвязків системи. Пізніше цей метод було заново відкрито в Європі, він дістав назву методу Гаусса чи методу послідовного виключення невідомих.

Трактат китайського математика Суня-цзи (III ст.) містив математичні таблиці, арифметичні задачі на складання системи лінійних рівнянь. Задача Сунь-Цзи: Два чоловіки А і Б одержали деяку кількість монет, які треба розподілити між ними так, що коли до монет А додати половину монет Б, або до монет Б додати 2/3 монет А, то в обох випадках дістанемо 48. Скільки монет одержав кожний чоловік? Розвязання. Якщо позначити кількість монет А через х, а кількість монет Б- через у, то задача зводиться до розвязування системи рівнянь: х+1/2у=48, 2/3х+у=48. Звідки =36, =24.

Індія Вершиною розвитку індійської математики є праця відомого математика і астронома Бхаскари «Вінець системи» (1150 р.). В цій праці викладені методи розвязування системи нелінійних рівнянь та окремих рівнянь 3 і 4 степенів.

Індійська задача (Магавіра, IX ст.): Під час бою півнів один з глядачів домовився з двома власниками півнів. Першому він сказав: «Якщо переможе твій півень, то виграш віддаси мені, якщо ж програє, то я сплачу тобі 2/3 твого можливого виграшу». Другому учаснику він сказав: «Якщо переможе твій півень, то виграш віддаси мені, якщо ж програє, то я сплачу тобі 3/4 можливого виграшу». В обох випадках глядач одержить 12 монет. Яким мав бути виграш кожного учасника бою? Розвязання. Позначивши через х і у виграші кожного з партнерів, дістанемо систему: Звідки: х = 42, у = 40

Діофантом Олександрійським. На подальший розвиток алгебри сильний вплив мали задачі, досліджувані Діофантом Олександрійським. Ці задачі приводять до складних систем алгебраїчних рівнянь, в тому числі до систем, де кількість рівнянь була меншою від кількості невідомих.

Першим великим самостійним досягненням західноєвропейських вчених було відкриття в ХVI ст. формули для розвязання кубічного рівняння. Це було заслугою італійських алгебраїстів:Сципіон дель Ферро, Нікколо Тарталья і Джіроламо Кардано.

Нікколо Тарталья Джіроламо Кардано

Рене Декарта. Подальшого розвитку алгебра як наука здобула в роботах Рене Декарта. Йому вдалося звільнити алгебру від невластивої їй геометричної форми. Все це дозволило розглядати питання розвязування рівнянь в самому загальному вигляді, застосовувати рівняння до розвязування геометричних задач. Наприклад, задача про знаходження точки перетину двох прямих звелася до розвязування системи рівнянь, яким б задовольняли точки цих прямих. Такий метод розвязання геометричних задач отримав назву аналітичної геометрії.

Однією із проблем алгебри XVIII-XIX ст. є теорія системи алгебраїчних рівнянь з багатьма невідомими. Над нею працювали такі вчені: Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646 – 1716) Карл Фрідріх Гаусс ( ) Пьер-Симон Лаплас ( ) Александр Теофил Вандермонд ( )

Габріель Крамер ( ) Найбільш відома з робіт Крамера - його трактат «Вступ до аналізу алгебраїчних кривих» (1750 р.). Крамер розглядав систему лінійних рівнянь з квадратною матрицею. Розвязок системи він представив у вигляді стовпця дробів з спільним знаменником - визначником матриці.

Карл Фрідріх Гаусс Талановитий учений, увіковічив своє імя значними відкриттями в теорії чисел, алгебрі, геометрії, обчислювальній математиці, дав прекрасні зразки застосування математичних методів у астрономії, механіці, картографії, геодезії. Він ввів термін «визначник» в 1801р.

Основи теорії визначників закладено в роботах Г. Крамера, їх строга дедуктивна теорія побудована О. Коші в 1815 р., а з 40-х років XIX ст. вони стають універсальним інструментом в алгебрі. З часом відбувається відокремлення понять матриця і визначник. Остаточно це відокремлення відбулося в роботах А.Келі та Д.Сільвестера, які розвивали ідеї матричної теорії з 1843р. Всі ці теорії пізніше лягли в основу формування нової галузі алгебри – лінійної алгебри.

Дослідження в XIX – ХХ ст. Вивченню лінійних просторів та їх лінійних перетворень присвячено інший розділ алгебри – лінійна алгебра, частиною якої стали сформовані ще в XIX столітті теорія лінійних рівнянь та теорія матриць. Близькою до лінійної алгебри є полілінійна алгебра.

У 1834 р. відкрито Київський університет. Навчальні курси читались а тогочасному науковому рівні, орієнтувались на досягнення найкращих вітчизняних і зарубіжних авторів – М. Остроградського, Ж. Лагранжа, Ж Фурє, О Коші. Проводились окремі дослідження, які потім захищались як дисертації: про особливі розвязки диференціальних рівнянь (М. А. Дяченко).

У 1865р. на базі Рішельєвського ліцею був відкритий Новоросійський (Одеський) університет. Одразу після відкриття в ньому розгорнулась активна науково- методична робота. Провідним викладачем у перший період існування університету був професор С.П. Ярошенко. Він досліджував методи знаходження особливих розвязків звичайних диференціальних рівнянь і рівнянь у частинних похідних першого порядку, теорію визначників.

На початку 40-х років XX ст.. у галузі алгебри і теорії чисел плідно працювали Д.А Гване, М.Г.Крейн, М.П.Кравчук; у загальній теорії диференціальних рівнянь – Г.І.Пфейффер, М.П.Кравчук, Ю.Д.Соколов.

Миха́йло Пили́пович Кравчу́к ( р.р.) Учень Д.А.Гване М.П.Кравчук працював у галузі математичного аналізу, алгебри, теорії лінійних перетворень, теорії ймовірності і математичної статистики. У його творчому доробку – розвиток математичної термінології, праці в історії математики, методики навчання математики, десятки підручників і навчальних програм для середньої та вищої школи, організація перших в Україні математичних олімпіад