… И случай, бог-изобретатель … А.С. Пушкин

Основи теорії ймовірності теорії ймовірностіОснови Основні поняття СУМА ПОДІЙ ДОБУТОК ПОДІЙ Здійснення принаймні однієї з незалежних подій Незалежні випробування. СХЕМА БЕРНУЛЛІ СТАТИСТИЧНА ЙМОВІРНІСТЬ ГЕОМЕТРИЧНА ЙМОВІРНІСТЬ Вибір формули Історичні задачі Довідник з комбінаторики УМОВНА ЙМОВІРНІСТЬ

Основні поняття теорії ймовірності Подія це явище, про яке можна сказати, що воно відбувається чи не відбувається за певних умов. Події позначаються великими буквами латинського алфавіту (можна використовувати індексацію): A, B, C, … або A1, A2, A3, … Будь-яка подія відбувається внаслідок випробування (експерименту, досліду). 1) випробування підкидання монети, тоді події: A «поява герба», B «поява цифри»; 2) випробування підкидання кубика, тоді події: A1 «поява 1 очка», A2 «поява 2 очок», A3 «поява 3 очок», A4 «поява 4 очок», A5 «поява 5 очок», A6 «поява 6 очок»; 3) випробування постріл по мішені, тоді події: A «влучаємо в ціль», B «промах». Поняття Приклади Подія Випробування Випробування це умови, в результаті яких відбувається чи не відбувається подія. Підкидання монети, підкидання грального кубика, витягування екзаменаційного білету, постріли по мішені, вибір кількох деталей з серії однакових деталей на виробництві. 1

Випадковою подією називається така подія, яка може відбутися або не відбутися під час певного випробування. Випадкові події бувають масовими та одиничними. Масовими називають однорідні події, що спостерігаються за певних умов, які можуть бути відтворені (можна спостерігати) необмежену кількість разів. 1)випробування витягування карти з колоди, тоді подія A «взято туза» є випадковою; 2) випробування серія пострілів по мішені, тоді події A «влучаємо в ціль» і B «промах» є випадковими і масовими; 3) подія «падіння Тунгуського метеорита» є випадковою і одиничною. Вірогідною подією називається подія, яка внаслідок даного випробування обовязково відбудеться. Випробування підкидання кубика. Подія А «поява на одній з граней грального кубика числа, меншого за 7» є вірогідною. Неможливою подією називається подія, яка внаслідок даного випробування не може відбутися. Основні поняття теорії ймовірності Випадкова подія Вірогідна подія Неможлива подія 2 Випробування підкидання кубика. Подія В «поява на одній з граней грального кубика числа, більшого за 6» є неможливою.

Основні поняття теорії ймовірності Повна група подій Попарно несумісні події Незалежні події Поняття Приклади Повною групою подій називається множина таких подій, що в результаті кожного випробування обовязково повинна відбутися хоча б одна з них. Випробування підкидання кубика, тоді повну групу подій становлять події: A1 «поява 1 очка», A2 «поява 2 очок», A3 «поява 3 очок», A4 «поява 4 очок», A5 «поява 5 очок», A6 «поява 6 очок», або події: B1 «поява парного числа очок»; B2 «поява непарного числа очок». Незалежними подіями називають такі події, якщо ймовірність появи однієї з цих подій не залежить від того, відбулись інші події чи ні. Попарно несумісні події це події, дві з яких не можуть відбуватися разом. Монета кидається двічі. Ймовірність появи герба в 1-му випробуванні не залежить від появи чи непояви герба в 2-му випробуванні. В свою чергу, ймовірність появи герба в 2-му випробуванні не залежить від появи чи непояви герба в 1- му випробуванні. Отже, події А «поява герба в 1-му випробуванні» і В «поява герба в 2-му випробуванні» незалежні. Попадання і промах при одному пострілі це дві несумісні події або при витягуванні однієї карти з колоди поява дами і десятки це також дві несумісні події. 3

Основні поняття теорії ймовірності Рівноможливі події Простір елементарних подій Класичне означення ймовірності Поняття Приклади Рівноможливі події це такі події, кожна з яких не має переваг у появі частіше за іншу під час багаторазових випробувань, що проводяться за однакових умов. Поява цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при киданні грального кубика рівноможливі події. Якщо події: 1) утворюють повну групу подій; 2) є несумісними; 3) є рівноможливими, то такі події утворюють простір елементарних подій. Випробування постріл по мішені, тоді події: A «влучаємо в ціль» і B «промах» утворюють простір елементарних подій. 4

Відповідь: а) 0,5; б) 0,25. Події В сприяє лише подія С1, тоді Знайти ймовірність того, що при киданні двох монет випаде: а) 1 число; б) 2 герба. Розвязання Нехай подія А «випало 1 число»; В «випало 2 герба». Простір елементарних подій складається з 4-х подій: С1 С1 «випало 2 герба»; С2 С2 «випали герб та число»; С3 С3 «випали число та герб»; С4 С4 «випали 2 числа». Події А сприяють події С2 С2 і С 3, тоді Класичне означення ймовірності Відношення числа подій, які сприяють події А, до загальної кількості подій простору елементарних подій називається ймовірністю випадкової події А і позначається Р(А). Ймовірність вірогідної події дорівнює 1, а ймовірність неможливої події дорівнює 0. Основні поняття теорії ймовірності Поняття Приклади 5

СУМА ПОДІЙ Поняття Приклади Сумою подій А і В називається подія С, що полягає в здійсненні під час одиничного випробування або події А, або події В, або обох подій одночасно. Позначається: С=А+В або С=А В. Подія А «влучення в ціль з 1-го пострілу», подія В «влучення в ціль з 2-го пострілу», подія С «влучення в ціль при двох пострілах», тоді С=А+В. Подія Ā називається протилежною до події А, якщо вона відбувається тоді і тільки тоді, коли подія А не відбувається. Події А і Ā утворюють повну групу несумісних подій U і мають місце рівності: А+U=U, A+A=A, A+Ā=U, A+ =A. Подія A «влучаємо в ціль при пострілі», тоді подія Ā «промах при пострілі». Сума подій Протилежна подія 1

Поняття Приклади Теорема. Ймовірність суми двох несумісних подій А і В дорівнює сумі ймовірностей цих подій: якщо А В=, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В). В урні лежать 2 зелених, 3 червоних і 6 синіх кульок. З неї навмання вибирають 1 кульку. Яка ймовірність того, що вона не червона? Розвязання Нехай подія В «поява не червоної кульки», А1 «поява зеленої кульки», А2 «поява червоної кульки», А3 «поява синьої кульки», тоді В=А1+А3, причому А1 і А3 несумісні, Отже, Відповідь: СУМА ПОДІЙ Теорема про ймовірність суми подій Наслідок 1 Наслідок 2 Наслідок 1. Сума ймовірностей подій А1, А2, …, Аn, які утворюють повну групу і попарно несумісні, дорівнює одиниці: Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)=1. Наслідок 2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці: Р(А)+Р(Ā)=1. В урні лежать 2 зелених, 3 червоних і 6 синіх кульок. З неї навмання вибирають 1 кульку. Яка ймовірність того, що вона не червона? Розвязання Нехай подія А «поява червоної кульки», тоді Ā «поява не червоної кульки», причому події А і Ā протилежні, тоді Відповідь: 2

ДОБУТОК ПОДІЙ Поняття Приклади Добутком подій А і В називається подія С, що полягає в здійсненні обох подій А і В під час одиничного випробування. Позначається: С=А В або С=А В Подія А «1-й стрілець влучив в ціль», подія В «2-й стрілець влучив в ціль», подія С «обидва стрільці влучили в ціль», тоді С=А В. Добуток подій Теорема про ймовірність добутку двох незалежних подій Теорема. Ймовірність добутку двох незалежних подій А і В дорівнює добутку ймовірностей цих подій: Р(А В)=Р(А) Р(В). Знайти ймовірність одночасного випадання 3-х очок на кожному з гральних кубиків при одному киданні двох кубиків. Розвязання Нехай подія А «випало 3 очки на 1-му кубику»; В «випало 3 очки на 2-му кубику», причому події А і В незалежні, тоді Відповідь:

ЗДІЙСНЕННЯ ПРИНАЙМНІ ОДНІЄЇ З НЕЗАЛЕЖНИХ ПОДІЙ Поняття Приклади Наслідок 1. Якщо ймовірності незалежних подій А1, А2, …, Аn однакові і рівні р, то ймовірність здійснення принаймні однієї із них Р(А)=1–(1–р) n. Теорема. Якщо події А1, А2, А3, …, Аn незалежні, то ймовірність здійснення принаймні однієї з цих подій може бути виражена через ймовірність цих подій за формулою Р(А)=1–(1–Р(А1)) (1–Р(А2)) … (1–Р(Аn)). Стрілок робить 4 постріли по одній і тій же мішені. Ймовірність влучення при одному пострілі дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що стрілок влучить хоча б один раз. Розвязання Нехай подія А «стрілок влучить хоча б один раз», тоді за наслідком з теореми про здійснення принаймні однієї з незалежних подій: P(A)=1-(1-0,9) 4 =1-0,1 4 =1-0,0001=0,9999. Відповідь: 0,9999. Теорема Наслідок 1

УМОВНА ЙМОВІРНІСТЬ Поняття Приклади Число, яке виражає ймовірність події В за умови, що подія А вже відбулася, називається умовною ймовірністю події В відносно події А і позначається Р(В\А) або P A (B). Теорема. Ймовірність добутку двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другої події, якщо перша подія вже відбулася: Р(А В)=Р A (B) Р(А). В урні 5 білих і 7 синіх кульок. Навмання вибирають одну кульку, а потім другу. Знайти ймовірність того, що із двох вийнятих кульок першою буде біла, а другою синя. Розвязання Нехай подія А «перша взята кулька біла», ; подія В «друга кулька буде синьою», ймовірність події В при умові, що перша біла дорівнює Шукана ймовірність по теоремі множення ймовірностей залежних подій дорівнює Р(А В)=Р A (B) Р(А)= Відповідь:

НЕЗАЛЕЖНІ ВИПРОБУВАННЯ. СХЕМА БЕРНУЛЛІ Поняття Приклади Взаємно незалежними називаються такі випробування, в яких ймовірність результату кожного з них не залежить від того, які результати має чи матиме решта випробувань. Схема Бернуллі: відбувається n незалежних випробувань, у кожному з яких подія А може настати чи не настати. Ймовірність здійснення події А в кожному з випробуванні однакова і дорівнює р, ймовірність нездійснення події А є q=1–p. Треба знайти ймовірність P m,n або P n (m) того, що подія А настане m разів в цих n випробуваннях. Шукану ймовірність можна обчислити за формулою Бернуллі: або Яка ймовірність того, що при 7 кидках грального кубика 5 очок випаде рівно 3 рази? Розвязання Нехай подія А «при одному кидку випаде 5 очок». При кожному кидку ймовірність події А постійна і дорівнює Отже, ймовірність нездійснення події А в кожному випробуванні також постійна і дорівнює Шукана ймовірність за формулою Бернуллі дорівнює Відповідь:

СТАТИСТИЧНА ЙМОВІРНІСТЬ Поняття Приклади Нехай n кількість усіх випробувань в окремій серії випробувань, а m кількість тих випробувань, у яких відбувається подія А. Відношення називається відносною частотою події А в даній серії випробувань. Виявляється, що в різних серіях випробувань відповідні частоти для великих n практично збігаються, коливаючись навколо деякого сталого значення Р(А), яке називається статистичною ймовірністю події А: або. Із довільно вибраних деталей приблизно 50 бракованих. Скільки приблизно буде бракованих деталей серед 2800 таких же деталей? Розвязання Нехай подія А «поява бракованої деталі», тоді З іншого боку Звідки, Відповідь:

Задача На площині проведено два концентричні кола з радіусами 10 см і 20 см відповідно. Знайти ймовірність того, що точка, поставлена навмання у великий круг, потрапить у кільце, утворене побудованими колами. Припускається, що ймовірність потрапляння точки у плоску фігуру пропорційна площі цієї фігури і не залежить від її розміщення відносно великого круга. Розвязання ГЕОМЕТРИЧНА ЙМОВІРНІСТЬ Геометричною ймовірністю події А називається відношення міри області, яка сприяє події А, до міри всієї області: Геометрична ймовірність потрапляння точки в область (відрізок, частину площини, частину площі і т. д.), наприклад: Площа великого круга (фігури G): Шукана ймовірність Відповідь: 0,75. Площа кільця (фігури g): см 20 см

ні так Вибір формули Вибір формули Чи здійснюються всі події обовязково одночасно під час одиничного випробування? Чи є події несумісними? Чи є події незалежними? Чи однакова ймовірність всіх подій? ні так ні так ні

Історичні задачі Ще в глибокій старовині з'явилися різні ігри. У Древній Греції і Римі широкого поширення набули ігри в астрагали (тобто кидання кісток з кінцівок тварин) і гральні кістки (кубики з нанесеними на гранях точками). Нині гральні кістки іноді виготовляють у вигляді додекаедрів і ікосаедрів. У одній з азартних (слово "азартний" походить від арабського "азар" - важкий, тобто рідко випадаючі комбінації кісток) ігор кидалися одночасно чотири астрагали і фіксувався результат. Гірший бросок, при якому випадає більш за одну одиницю, називався "собакою". Кращим результатом вважали кидок "Венера", коли на чотирьох астрагалах випадали різні грані. Пізніше азартні ігри поширилися в середньовічній Європі. Зокрема у XIV ст. з'явилися гральні карти. У XVII ст. азартні ігри сприяли зародженню і становленню комбінаторики і науки про випадкове. Учені XV - XVII вв. багато уваги приділили розвязуванню завдань про поділ ставки, про гру в кістки, про лотереї.

З АДАЧІ ПРО ГРУ В КІСТКИ З АДАЧІ ПРО ГАДАННЯ, ЛОТЕРЕЇ, УРНИ … … И опыт, сын ошибок трудных... А. С. Пушкин З АДАЧІ ПРО ПОДІЛ СТАВКИ

До середины XVII в. не было правильных методов решения задач о справедливом дележе ставки. В 1654 г. между французскими математиками Блезом Паскалем и Пьером Ферма возникла переписка по поводу ряда задач. Из переписки Паскаля и Ферма сохранилось лишь три письма Паскаля и четыре письма Ферма. Эти письма впервые были опубликованы в 1679 г. в Тулузе. В этой переписке оба ученых, хотя и несколько разными путями, приходят к верному решению, деля ставку пропорционально вероятности выиграть всю ставку, если игра будет продолжена. ЗАДАЧІ ПРО ПОДІЛ СТАВКИ... Истина одна : и в Тулузе, и в Париже. Б. Паскаль Задачи Луки Пачоли Задачи о дележе ставки в занимательных формулировках встречались уже в рукописных арифметических учебниках XIII в. и сводились к справедливому разделению ставки между двумя игроками, если игра прервана по каким-либо причинам. Задача Блеза Паскаля ЗАДАЧІ

1.Задачи Луки Пачоли В энциклопедическом труде итальянского математика Луки Пачоли (1445 ок. 1514) "Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и про- порциональности», изданном в Венеции в 1494 г., в главе 'Необычайные задачи» помещено несколько задач на справедливый раздел ставки. Компания играет в мяч до 60 очков и делает ставку в 22 дуката (дукат золотая монета, которая чеканилась в Венеции). В связи с некоторыми обстоятельствами игра не может быть закончена, причем одна сторона в этот момент имеет 50, другая 30 очков. Спрашивается, какую часть общей ставки должна получить каждая сторона. Відповідь: В этих задачах Пачоли делит ставку пропорционально набранным очкам (или партиям). Если два игрока к моменту прекращения игры выиграли соответственное количество партий, то ставка делилась в отношении m:n независимо от того, сколько партий им оставалось сыграть. Как видно, Пачоли лишь молчаливо предполагал равновероятность выигрыша любой партии (очка) каждым из участников игры. Такие решения ошибочно считались правильными, хотя при этом ставки делились не в соответствии с вероятностями выиграть всю ставку при продолжении игры. В 1539 г. Джироламо Кардано ( ) в работе «Практика обшей арифметики», изданной в Милане, правильно указывал, что Пачоли, деля ставку пропорционально числу уже выигранных партий, никак не принимает в расчет то число партий, которое еще видимо мог выиграть каждый из игроков. Кардано ошибочно предлагал делить ставку в отношении сумм членов двух арифметических прогрессий с разностями, равными единице, которые начинаются с единицы и продолжаются до числа недостающих партий до выигрыша, т.е. в отношении [ … + (k (k n)]:[ (k m)], где k количество партий, до которого должна продолжаться игра по условию, а m и п количество партий, выигранных партнерами. ЗАДАЧІ Відповідь

2. Задача Блеза Паскаля Как разделить ставку при игре до трех выигрышных партий, если один игрок выиграл две партии, а другой одну и каждым вложено в игру по 32 пистоля? Відповідь. Свое решение задачи Паскаль наиболее полно изложил в письме к Ферма от 29 июля 1654 г. : «Вот примерно, что я делаю для определения стоимости каждой партии, когда два игрока играют, например, на три партии и каждым вложено в игру по 32 пистоля. Предположим, что один выиграл две партии, а другой одну. Они играют еще одну партию, если её выигрывает первый, то он получает всю сумму в 64 пистоля; если же эту партию выигрывает второй, то каждый игрок будет иметь 2 выигранные партии, и, следовательно, если они намерены произвести раздел, каждый должен получить обратно свой вклад в 32 пистоля. Примите же во внимание, монсеньер, что если первый выиграет, то ему причитается 64; если он проиграет, то ему причитается 32. Если же игроки не намерены рисковать … и хотят произвести раздел, то первый должен сказать: «Я имею 32 пистоля верных, ибо в случае проигрыша я их также получил бы, но остальные 32 пистоля могут быть получены либо мной, либо Вами. Случайности равны. Разделим же эти 32 пистоля пополам, и дайте мне, кроме того, бесспорную сумму в 32 пистоля». Как видно из рассуждений Паскаля, первый игрок должен получить 48 пистолей, а второй 16. Відповідь ЗАДАЧІ

Когда кончается игра в три кости, То проигравший снова их берет И мечет их один в унылой злости, Другого провожает весь народ... Данте Алигьери ЗАДАЧІ ПРО ГРУ В КІСТКИ Перша гра де Мере Гральна кістка кидається чотири рази. Лицар бився об заклад, що при цьому хоч би один раз випаде шість очок. Яка вірогідність виграшу для лицаря? Пристрасний гравець в кістки лицар де Мере хотів розбагатіти за допомогою гри в кістки, і для цього він придумував різні ускладнені правила гри. Легенда про де Мере детально викладена у статті А. Я. Хинчина і А. М. Яглома "Наука про випадкове". Відповідь ЗАДАЧІ

Відповідь. ЗАДАЧІ

ЗАДАЧІ ПРО ГАДАННЯ, ЛОТЕРЕЇ, УРНИ … Каждый раз, когда служитель объявлял следующий номер билета, толпа отвечала громкими возгласами … По мере того как приближалась минута осуществления мечты, лихорадка, охватившая неаполитанцев, все усиливалась … больше всего досталось лотерее... где все так и устроено... М. М. Серио 1. По преданию, когда-то в сельских местностях России среди девушек существовало гадание. Одна из подруг зажимала в руке шесть травинок так, чтобы концы травинок торчали сверху и снизу, а другая связывала эти травинки попарно между собой сверху и снизу. Если при этом все шесть травинок оказывались связанными в одно кольцо, то это должно было означать, что девушка в текущем году выйдет замуж. Какова вероятность того, что травинки при завязывании наудачу образуют кольцо? Відповідь: 8/15 Відповідь ЗАДАЧІ

2. Задача про Генуезьку лотерею У XVII ст. в Генуї виникла знаменита лотерея. Генуезька лотерея в XVIII столітті розігрувалася у Франції, Німеччині й інших країнах. Барвисто описала генуезьку лотерею італійська письменниця Матільда Серайо ( ) в новелі "Розіграш лотереї". Розігрується 90 номерів, з яких виграють п'ять. За умовою можна ставити ту або іншу суму на будь-який з 90 номерів або на будь-яку сукупність двох, трьох, чотирьох або п'яти номерів. Якщо учасник лотереї ставив на один номер, то він отримував при виграші в 15 разів більше ставки; якщо на два номери (амбо), то в 270 разів більше; якщо на три номери (терен), то в 5500 разів більше; якщо на чотири номери (катерн) - в разів більше; якщо на п'ять номерів (квин) – в разів більше, ніж ставка. Яка вірогідність виграшу в кожному з вказаних п'яти випадків? Відповідь. Відповідь ЗАДАЧІ

Довідник з комбінаторики Схема розвязування комбінаторних задач Чи враховується порядок розміщення елементів? Чи всі елементи входять до сполуки? ПЕРЕСТАНОВКИ РОЗМІЩЕННЯКОМБІНАЦІЇ без повторень з повтореннями без повторень з повтореннями без повторень з повтореннями P n =n! ні так ні 1

Довідник з комбінаторики ПЕРЕСТАНОВКИ без повторень з повтореннями Перестановками з n елементів називаються різні скінченні упорядковані множини, що їх можна дістати з деякої множини, яка містить n елементів. P n =n! (всі елементи різні) (елементи можуть повторюватись) Приклад. Кількість різних шестизначних чисел, які можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, не повторюючи цифри, дорівнює Приклад. Кількість різних шестизначних чисел, які можна скласти з трьох двійок, двох сімок і однієї пятірки, дорівнює 2

Довідник з комбінаторики РОЗМІЩЕННЯ без повторень з повтореннями Розміщенням з n елементів по k називаються будь-яка упорядкована множина з k елементів, складена з елементів n-елементної множини. (всі елементи різні) (елементи можуть повторюватись) Приклад. Кількість різних тризначних чисел, які можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, не повторюючи ці цифри, дорівнює Приклад. Кількість різних тризначних чисел, які можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, якщо ці цифри в числі можуть повторюватись, дорівнює 3

Довідник з комбінаторики КОМБІНАЦІЇ без повторень з повтореннями Комбінацією (сполученням) без повторень з n елементів по k називається будь-яка множина з k елементів, складена з елементів n- елементної множини. Комбінацією (сполученням) з n елементів по k називаються набори цих елементів, до кожного з яких входить k елементів і які відрізняються лише складом елементів. Приклад. Кількість способів, якими можна виділити 5 учнів для чергування по школі з 25 учнів класу, дорівнює Приклад. Кількість способів, якими можна скласти букети з 7 квіток чотирьох сортів, дорівнює 4

Конечно, будем учиться доказывать, но будем также учиться догадываться. Д. Пойа АВТОРИЛІТЕРАТУРА

Використана література: Алгебра і початки аналізу: Підручник для 11 кл. загальноосвіт. навч. закладів / М.І. Шкіль, З.І. Слєпкань Старинные задачи: Кн. для учащихся / Баврин И. И., Фрибус Е. А. Алгебра в таблицях: Навч. посібник для учнів 7-11 класів / Є.П. Нелін Теорія ймовірностей та математична статистика: Навч. посібник для студентів економічних спеціальностей ВНЗ / Барковський В.В. Вища математика. Приклади і зідачі: Навч. посібник для студентів нематематичних спеціальностей ВНЗ / Л.І. Дюженкова

Над презентацією працювали: Учениці 11 класу : Баглай Тетяна Мілка Катерина березень 2010 року