Муниципальное бюджетное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 19 с углубленным изучением отдельных предметов» Свойства функции у=sinх и её график Пикалова Тамара Павловна Учитель математики г.Старый Оскол 2011

Основные свойства функции у =sinх: Область определения- множество всех действительных чисел; Область значения- отрезок [-1;1], значит, sin- функция ограниченная; Функция нечётная: sin(-x)= -sinx для всех х из множества R; Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2, то есть sin(x+2)=sinx для всех х из множеcтва R;

sinx= 0 при х=n, n є Z; sinx > 0 для всех х є (2n; +2n),n є Z; sinx < 0 для всех х є (+2n; 2 +2n),n є Z;

Функция возрастает от -1 до 1 на промежутках [-/2 + 2n; /2 + 2n], n є Z; Функция убывает от 1 до -1 на промежутках [/2 + 2n; 3/2 + 2n], n є Z; Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках х= /2 + 2n, n є Z; Функция принимает наименьшее значение, равное -1, в точках х= 3/2 + 2n, n є Z;

График cинуса на промежутке [-;]

График синуса на всей области определения

Построить график функции y=sin 1/2x D (y)= R; E (y)= [-1;1]; Функция нечётная; Функция периодическая, так как sin1/2 x= sin (1/2x+ 2)= sin( (x+4)/2), Т=4. Достаточно построить график на отрезке [0; 2];

Найдём точки пересечения графика с осью ОХ. Если y=0, то sin1/2 x=0, х/2=n, х=2n, n=0;1. (0;0) и (2;0)- точки пересечения графика с осью ОХ на данном полупериоде; Максимум функции равен 1 при х/2= /2, то есть при х=. По этим данным строим график y=sin 1/2x.

График функции y=sin1/2x

Второй способ построения графика функции y=sin 1/2x Период исходной функции y=sinx равен 2, а период заданной функции y=sin 1/2x составляет 4, то есть, вдвое больше периода исходной функции. Таким образом, график функции y=sin 1/2x можно построить путём растяжения графика функции y=sinx вдоль оси ОХ вдвое.

График функции y=sin 1/2x

Построить график функции y=sin3x D(y)=R; E(Y)=[-1;1]; Период функции: Sin3x= sin (3x + 2) = sin3(x+2/3); T=2/3, T/2=/3. Точки пересечения графика с осью ОХ: Sin3x=0, 3x=n, x= n/3, n=0;1, то есть на данном полупериоде кривая пересекает ось ОХ в точках (0;0) и (/3;0); Максимум функции равен 1 при 3х= /2, то есть х= /6. По этим данным строим график функции у=sin3x

График функции y=sin3x

Второй способ построения графика функции у= sin3x График функции у=sin3x можно построить путём сжатия по оси ОХ исходного графика y=sinx в три раза, так как период 2/3 заданной функции в три раза меньше периода 2 исходной функции

График функции у =sin3x

Построить график функции y=3sinx Ординаты графика y=3sinx в три раза больше соответствующих ординат графика y=sinx. Поэтому график функции у=3sinx строится путём увеличения всех ординат графика у=sinx по оси ОУ в три раза.

Построить график функции у=1/2sinx По тем же соображениям этот график строится способом уменьшения всех ординат исходного графика в два раза, то есть путём сжатия исходного графика по оси ОУ в два раза.

Графики у=3sinx и y=1/2sinx

Построить график функции у=1,5-2sin(3x+/4) Y= -2sin(3x+/4) Y= -2sin(3(x+/12))+1,5 Порядок построения графика следующий: строим график функции y=-sinx; этот график сжимаем по оси абсцисс в три раза; ось ординат переносим по горизонтали на /12; график растягиваем по оси ординат в два раза; ось абсцисс переносим по вертикали на -1,5.

График функции у=1,5- 2sin(3x+/4)

Упражнения для самостоятельной работы Первый вариант Построить графики функций: 1. y=sin2x; 2. y= 1-2sin2x; 3.y= 2sinxlcosxl; 4.Y=tgxcosx; 5. Сколько корней имеет уравнение sin2x=a ? Второй вариант Построить графики функций: 1.У=-sin2x; 2.Y=1+2sin2x; 3.У=2cosxlsinxl; 4.Y=tgxctgx; 5.Сколько корней имеет уравнение -sin2x=b ?

Литература 1.Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников М.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала анализа: учеб. Для10 кл. общеобразоват. Учреждений: базовый и профильный уровни/С.М. Никольский, 6 изд М.: Просвящение с.; 2.Родионов Е.М., Филимонов Л.А. Математика. Часть ll, книга l. Тригонометрия. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. М.: Самсусам, с..