Первісна та її властивості.

Функція F(x) називається первісною функції f(x) на деякому про ­ міжку, якщо для всіх x із цього проміжку виконується рівність : F'(X) = f(x). Властивість первісної. Теорема 1. Нехай функція F(x) є первісною для f( х ) на деякому проміжку. Тоді для довільної постійної С функція F(x) + С також є первісною для функції f( х ). Теорема 2. Нехай функція F(x) є первісною для f(x) на деякому проміжку. Тоді будь - яка первісна для функції f(x) на цьому проміжку може бути записана у вигляді F(x) + С, де С деяка стала ( число ).

, де F(x) яка - небудь первісна для функції f(x) на даному проміжку, С довільна стала ( її називають сталою інтегрування ). Сукупність усіх первісних для функції f(x) на проміжку називають невизначеним інтегралом цієї функції і позначають

Правила знаходження первісних

Найбільший внесок у вивченні інтегрального числення вніс Архімед. Одного разу, прийшовши із рибалки, Архімед захотів визначити найбільш точно площу поверхні риби.

Розбивши поверхню риби на прямокутники, він знайшов їх площі, причому чим більшою була кількість прямокутників, тим точнішим було значення площі.

Так і виникло поняття інтеграла, із яким ми будемо знайомитися на протязі модуля. Саме слово інтеграл « придумав » Бернуллі у 1690 р.( від латинського слова Integro – відновлювати або від слова Integ е r – цілий ). Символ інтеграла був уведений Лейбніцем у 1675 році ( знак нагадує розтягнуту літеру S ( першу літеру латинського слова Summa – сума ).

Криволінійна трапеція Означення : Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком невідємної, неперервної функції y=f(x), яка не змінює знак на відрізку [a; b], прямими x=a, x=b і відрізком [a; b].

Які із наведених фігур є криволінійними трапеціями

За площу криволінійної трапеції, за означенням треба взяти границю площі східчастого многокутника за умови n, тобто У курсі математичного аналізу доведено, що для будь - якої неперервної функції у = f(x) ( не обов ' язково невід ' ємної ) така границя існує і дорівнює певному числу

Визначений інтеграл Границю називають визначеним інтегралом функції у = f(x) від a до b і позначають ( читають так : інтеграл від a до b еф від ікс де ікс ) а - нижня межа інтегрування ; b - верхня межа інтегрування ; - знак визначеного інтеграла - підінтегральна функція ; - підінтегральний вираз ; х - змінна інтегрування.

Формула Ньютона - Лейбніца Це і є формула Ньютона – Лейбніца, яка показує, що значення визначеного інтеграла на відрізку [a; b] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції, коли x=b i х = a. Різницю F(b) - F(a) позначають. Тому попередню рівність можна записати так :

Властивості визначеного інтеграла

Застосування визначеного інтеграла Обчислення площ плоских фігур Обчислення об'ємів тіл Обчислення відстані за відомим законом зміни швидкості Обчислення роботи змінної сили та потужності Обчислення кількості електрики та кількості теплоти Застосування в економіці й техніці