Арифметическая прогрессия а 1 +а 2 +а 3 +а 4 +а 5 +а 6 +а 7 …=???
Нам предстоит узнать: что называют арифметической прогрессией; что называют разностью арифметической прогрессии; какими бывают арифметические прогрессии; формулу n-го члена арифметической прогрессии; формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии. Нам предстоит сделать: решить несколько задач по данной теме.
Определение арифметической прогрессии Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа. + 5,5 + 5,5 + 5,5 + … + 5,5 + 5,5 + 5,5 + … 10 р. 15,5 р. 21 р. 26,5 р.
Разность между двумя любыми соседними членами прогрессии, последующим и предыдущим, называют разностью арифметической прогрессии. d; difference – «разность» ( франц.) d; difference – «разность» ( франц.) а n + 1 = а n + d а n + 1 = а n + d d = a n a n d = a n a n
Виды прогрессий: Прогрессия: 1; 3; 5; 7; 9; 11;… d = 3 – 1 = 2 Прогрессия, в которой каждый следующий член последовательности больше предыдущего, называется возрастающей. Прогрессия, в которой каждый следующий член последовательности больше предыдущего, называется возрастающей. Прогрессия: 100; 90; 80; 70; 60;… d = 90 – 100 = -10 Прогрессия, в которой каждый следующий член последовательности меньше предыдущего, называется убывающей. Прогрессия, в которой каждый следующий член последовательности меньше предыдущего, называется убывающей. Последовательность: 5; 5; 5; 5; 5;… Последовательность, все члены которой равны между собой, является арифметической прогрессией, так как разность между двумя её членами одна и та же: Последовательность, все члены которой равны между собой, является арифметической прогрессией, так как разность между двумя её членами одна и та же: d = 5 – 5 = 0 d = 5 – 5 = 0
Количество дней Количество дней Стоимость проката (в рублях) Стоимость проката (в рублях) 1 Р 1 = 10 2 Р 2 = ,5 3 Р 3 = ( ,5 ) + 5,5 = ,5 · 2 4 Р 4 = ( ,5 · 2 ) + 5,5 = ,5 3 5 Р 5 = ( ,5 · 3 ) + 5,5 = ,5 · 4 Формула n-го члена арифметической прогрессии. Рn = ,5 ( n – 1 ) Пусть n = 21, то Р21 = ,5 · ( 21 – 1 ) = 120 (р.) Пусть последовательность (an) – арифметическая прогрессия, тогда: а а 2 = а 1 + d а 3 = ( а 1 + d ) + d = a1 + d · 2 a4 = ( a d ) + d = a1 + d 3 an = a1 + d · ( n - 1 )
Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии … · 100 = … · 100 = ¯¯¯2¯¯¯¯ … … ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ … ; 2; 3; … ; 99; 100; … … ; 2; 3; … ; 99; 100; … 100 раз 100 раз 3; 7; 11; 15; 19; … а 1 ; а 2 ; а 3 ; … ; а n ; … 3; 7; 11; 15; 19; … а 1 ; а 2 ; а 3 ; … ; а n ; … а 20 = = 79 S n = а 1 + а 2 + а 3 + а 4 + … + а n а 20 = = 79 S n = а 1 + а 2 + а 3 + а 4 + … + а n S = … S n = a 1 + ( a 1 + d ) + ( a 1 + 2d ) + … ( a 1 + ( n – 1 ) d ) S = … S n = a 1 + ( a 1 + d ) + ( a 1 + 2d ) + … ( a 1 + ( n – 1 ) d ) + + S = … S n = a n + ( a n – d ) + ( a n - 2 d ) + … + ( a n - ( n – 1 ) d ) S = … S n = a n + ( a n – d ) + ( a n - 2 d ) + … + ( a n - ( n – 1 ) d ) ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 2S n = ( a 1 + a n ) + ( a 1 + a n ) + ( a 1 + a n ) + … ( a 1 + a n ) ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 2S n = ( a 1 + a n ) + ( a 1 + a n ) + ( a 1 + a n ) + … ( a 1 + a n ) 2S = … n раз 2S = … n раз 20 раз 20 раз 2S = S n = ( a 1 + a n ) n 2S = S n = ( a 1 + a n ) n S = = 820 S n = ( a 1 + a n ) n S = = 820 S n = ( a 1 + a n ) n ¯¯¯2¯¯¯ ¯¯¯¯¯2¯¯¯¯¯ ¯¯¯2¯¯¯ ¯¯¯¯¯2¯¯¯¯¯ S n = 2a 1 + d ( n – 1 ) · n S n = 2a 1 + d ( n – 1 ) · n ¯¯¯¯¯¯¯2¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯¯¯2¯¯¯¯¯¯¯¯
Решение задач. 1. Последовательность ( а n ) – арифметическая прогрессия. Найдите: d, если а 1 = 11, а 20 = 20,5 Найдите: d, если а 1 = 11, а 20 = 20,5 Ответ: а) 1,5 б) 0,5 в) 5 г) 1 Ответ: а) 1,5 б) 0,5 в) 5 г) 11,50,55 11,50, В амфитеатре концертного зала 15 рядов, и число кресел в каждом ряду увеличивается на 2 по сравнению с предыдущим. В последнем ряду 35 кресел. Сколько кресел в первом ряду? Ответ: а) 5 б) 6 в) 7 г) 8 Ответ: а) 5 б) 6 в) 7 г) Сколько всего кресел в амфитеатре? Сколько всего кресел в амфитеатре? Ответ: а) 315 б) 225 в) 325 г) 215 Ответ: а) 315 б) 225 в) 325 г)
Над презентацией работали: Илья Максутов и Алексей Новиков.
Правильно