Векторная алгебра Разложение вектора по базису Системы координат Декартова прямоугольная система координат Скалярное произведение векторов Свойства скалярного произведения Векторное произведение Смешанное произведение Свойства смешанного произведения

Определение. Вектором или по-другому свободным вектором называется направленный отрезок (т.е. отрезок, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая – за конец). Расстояние от начала вектора до его конца называется длиной (модулем) вектора. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом. Вектор, начало и конец которого совпадают, называ- ется нулевым и обозначается. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю.

Под углом между векторами и будем понимать угол, величина которого не превышает Два вектора и называются ортогональными, если угол между ними равен Два вектора и называются коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых. Три вектора, лежащие в одной или в параллельных плоскостях, называются компланарными. Два вектора называются равными, если они сона- правлены и имеют одинаковую длину. Все нулевые векторы считаются равными.

Определение. Произведением вектора на число называется вектор, длина которого, а направление совпадает с направлением вектора при и противоположно ему при. Если или, то их произведение полагают рав- ным. = противоположный вектору Лемма 2.1 (критерий коллинеарности векторов). Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда, для некоторого числа.

Определение. Суммой векторов и называется вектор, соединяющий начало вектора с концом вектора, отложенного от конца вектора. Правило треугольникаПравило параллелограмма = разность векторов

Свойства линейных операций над векторами

Пусть – произвольный вектор. Тогда или

Свойства проекций:

Пример

– невозможно

Свойства скалярного произведения

Свойства векторного произведения

Свойства смешанного произведения