Рассмотрим произвольный треугольник АВС. А С В α ٧ β А = α,В = β, С = ٧, Пусть АВ = с,ВС = а, АС = в, тогда вас sinssinβ sin ٧ == с в а Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Для доказательства теоремы рассмотрим параллельно остроугольный и тупоугольный треугольники. А С В α ٧ β с в а α ٧ β А С В с в а 180º- α Д Д А = α, В = β, ВС = а, АС = в. а в sinssinβ sin٧ == Дано: АВС, АВ = с,С = ٧, Доказать: с Доказательство. 1. Опустим высоту СД,АСД – прямоугольный. а)б) а) СД = в sins,б) СД = sin(180º-α)= в sins, 2. ВСД – прямоугольный. СД = а sin β,в sins = а sin β.откуда Разделим обе части полученного ра венства на sins sin β, получим: в sins = а sin β sins sin β откуда в = а sin βsins Аналогично доказывается, что в = с sin βsin٧ в = а = с sin βsins sin٧ Итак,

Доказать, что а в sinssinβsin٧ == с = 2R, где R – радиус описанной около треугольника окружности. Решение. Рассмотрим два случая : а) треугольник остроугольный;б) треугольник тупоугольный; а) А С В α О Д α с в а Построим остроугольный АВС и опишем около него окружность с центром О. ВСД – прямоугольный (С = 90 º – вписанный угол, опирающийся на диаметр ВД), А = α.Его стороны соответственно а, в и с, Д = А = α, тогда ВС = ВД sins. Т. к. ВД = 2R, тоВС = а= 2R sins, (как вписанные, опирающиеся на хорду ВС). откуда а sins = 2R.Аналогично доказывается, что в sinβsin٧ = с = 2R.

б) треугольник тупоугольный. А С В α О Д с в а Построим тупоугольный АВС и опишем около него окружность с центром О. ВСД – прямоугольный (С = 90 º – вписанный угол, опирающийся на диаметр ВД), А = α.Его стороны соответственно а, в и с, Д = 180º- α тогда ВС = ВД sin(180º - α) Т. к. ВД = 2R, тоВС = а= 2R sins, (по св-ву углов, вписанных в окружность) откуда а sins = 2R.Аналогично доказывается, что в sinβsin٧ с = 2R 180º - α = ВД sins. и = 2R.