РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ Алгебра и начала анализа. 11 класс. Повторение.

ВИДЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ Рациональные Иррациональные Тригонометрические Показательные Логарифмические

Немного теории Определение Областью определения уравнения f(x)=g(x) называется множество D(f) D(g), где D(f) и D(g)-области определения функций f(x) и g(x). Определение Число а называется корнем уравнения f(x)=g(x), если при подстановке его вместо х в уравнение получается верное равенство f(а)=g(а). Определение Функция вида Р(х)=а 0 х n + а 1 х n-1 + а 2 х n-2 +…+ а n-1 х+ а n, где n-натуральное, а 0,а 1,...а n - некоторые действительные числа, называется целой рациональной функцией. Определение Уравнение вида Р(х) =0, где Р(х)-целая рациональная функция, называется целым рациональным уравнением. Определение Уравнение вида P 1 (x) + P 2 (x) + + P m (x) = 0 Q 1 (x) Q 2 (x)... Q m (x) где Р 1 (х), Р 2 (х),…, Р m (х), Q 1 (х), Q 2 (х),..., Q m (х) -целые рациональные функции, называется рациональным уравнением. Определение. Неравенство вида P 1 (x) + P 2 (x) + + P m (x) >0 Q 1 (x) Q 2 (x)... Q m (x) где Р 1 (х), Р 2 (х),…, Р m (х), Q 1 (х), Q 2 (х),..., Q m (х) -целые рациональные функции, называется рациональным неравенством.

РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дробные рациональные уравнения Целые рациональные уравнения Уравнения первой степени первой степени ax+b=0 (a0) Квадратные уравнения уравнения ax²+bx+c =0 (a0) Биквадратные уравнения уравнения ax 4 +bx 2 +c=0 (a0)

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Определение У равнение, содержащее неизвестное под знаком радикала, называется иррациональным. Определение Неравенства вида f(x) > g(x), f(x) > g(x), f(x) < g(x)-иррациональные неравенства.

РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Решение иррациональных уравнений основывается на приведении их с помощью некоторых преобразований к рациональному уравнению. Как правило, это достигается возведением обеих частей иррационального уравнения в одну и туже степень(иногда несколько раз). При возведении обеих частей в чётную степень полученное уравнение может иметь посторонние корни. Поэтому необходимо обязательно делать проверку полученных корней.

РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ При решении иррациональных неравенств полезно пользоваться следующими теоремами: Теорема 1 Неравенство f(x) > g(x ), где nЄN, равносильно системе : f(x) >g(x) g(x)0 Теорема 2 Неравенство f(x) > g(x ), где nЄN, равносильно совокупности двух систем: g(x)0 f(x) >(g(x)) 2n g(x)<0 f(x) 0 Теорема 3 Неравенство f(x) < g(x ), где nЄN, равносильно системе: g(x) > 0 f(x) <(g(x)) 2n f(x) 0.

Тригонометрические уравнения Решение простейших тригонометрических уравнений. Решение тригонометрических уравнений способом приведения к одной тригонометрической функции. Решение тригонометрических уравнений способом разложения на множители Решение однородных тригонометрических уравнений. Решение дробно-рациональных тригонометрических уравнений.

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Определение: Показательным называется уравнение, содержащее неизвестное только в показателе степени. Типы показательных уравнений Простейшие показательные уравнения a х =b, где а>0 и а 1 Уравнения вида a f(x) =b, где а>0 и а 1 Уравнения вида a f(x) =b g(x), где а>0 и а 1, b>0 и b1, а f(x)b g(x)- заданные элементарные функции.

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ Теорема 1 Уравнение а f(x) =а g(x) при а>0 и а 1 равносильно уравнению f(x)=g(x) Теорема 2 Неравенство а f(x) >а g(x) равносильно совокупности двух систем: а>1, f(x)>g(x); 0<а<1, f(x)<g(x);

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Определение: Логарифмическим уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма Типы логарифмических уравнений Простейшие логарифмические уравнения logax=b,где х-неизвестное, а а и b-заданные числа. Уравнение вида logaf(x) = logag(x), где а>0 и а 1 Уравнение вида f(logag(x)) =0

РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ Теорема Уравнение log а f(x) = log а g(x), где а>0 и а 1,равносильно каждой из следующих систем: f(x)=g(x), f(x)=g(x), f(x) >0 или g(x)>0 Теорема. Неравенство log а f(x) > log а g(x) равносильно совокупности двух систем: а>1, f(x) >g(x), g(x)>0 0<a<1, f(x) <g(x), f(x) >0

ПРЕЗЕНТАЦИЯ РАЗРАБОТАНА Федорченко И.В. учителем Первомайской ОШ І-ІІІ ступеней Ясиноватского района Донецкой области Научно-методическое сопровождение: Глухова М.В.- заведующая отделом информационных технологий ОблИППО Журавлева Е.В.-заведующая отделом дистанционного образования