1 Основы теории вероятностей Основные понятия и определения

2 Основоположники теории вероятностей. Б. Паскаль П.Ферма П.Л. Чебышев А.Н. КолмогоровА.М. Ляпунов А.А. Марков

3 Классификация событий. Случайные события. Событие – любой факт, который может произойти или не произойти а результате любого опыта или испытания. События классифицируются как: 1)достоверные; 2)невозможные; 3)случайные. Примеры: Из ящика с разноцветными шарами наугад вынимают черный шар. При бросании игральной кости выпала цифра 7. При телефонном вызове абонент оказался занят.

4 Достоверное событие - это событие, которое обязательно произойдёт при проведении опыта. Пример: 1) при t = 20˚C, Р=760 мм рт. ст. H 2 О- жидкость; 2)при анализе крови обязательно обнаруживаются лейкоциты.

5 Невозможное событие – это событие, которое никогда не произойдет при данных условиях опыта. Пример: 1) при t = 20˚C, Р=760 мм рт. ст. H2О- лед; 2) отсутствие эритроцитов в крови в крови.

6 Случайное событие – это событие, которое может произойти или не произойти при проведении опыта. Пример: 1)стрелок стреляет по мишени, может попасть или не попасть; 2) при бросании монеты может выпасть любая сторона.

7 Классификация событий.

8 Некоторые обозначения. Принято обозначать события большими буквами : А, В, С… В математике изучаются опыты, которые можно повторить неограниченное число раз. Любое событие, наступление которого возможно в таких опытах называется массовым или статистическим. Несколько случайных событий А 1, А 2, А 3 … А n, образуют полную группу событий, если в результате опыта произойдет хотя бы одно из них. Противоположными событиями А и Ā называются события, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами несовместны. Пример: Стрелок стреляет в мишень : А – попадание в мишень, Ā – промах.

9 Основные формулы и теоремы теории вероятностей Теория вероятностей изучает закономерности, присущие массовым случайным событиям. Рассматривая одну молекулу нельзя установить газовые законы, но рассмотрев большое число молекул, можно установить закон давления газа на стенки сосуда. Вероятностью Р(А) случайного события А, называется некоторое число, которое говорит нам о степени возможности наступления этого события А при проведении опыта.

10 определения понятия «вероятность» Классическое определение вероятности. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов m к общему числу всех несовместных и равновозможных исходов n – данного испытания. Р(А)=m n 0 Р(А) 1 Пример: 1)выпадение герба при бросании монеты Р(А)=1/2; 2)выпадение 1, при бросании кубика Р(А)=1/6. Статистическое определение вероятности. Отношение числа произошедших событий – М к общему числу N – произведенных испытаний называется относительной частотой появления событий. W(A)=M/N Статистической вероятностью случайного события называется предел, к которому стремиться относительная частота его появления при неограниченном увеличении числа испытаний. P(A)=lim W(A)= lim M/N N При большом числе испытаний Р(А)=M/N. Пример: В больницу поступило 1000 больных, из них 300 с травмами. Какова относительная частота поступления больных с травмами? W(A)=300/1000=0,3.

11 Связь между частотой появления события и его вероятностью. Закон больших чисел. при многократном повторении опыта частота события принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу. Например : вероятность выпадения четверки при бросании кубика равна 1/6 Выполнив некоторое количество серий бросаний можно убедиться, что частота появления четверки от серии к серии (при постоянном числе испытаний, в данном случае в каждой серии 100 испытаний) случайным образом колеблется около вероятности данного события, т.е.около 1\6. При увеличении числа испытаний частота появления случайного события приближается к его вероятности. Это утверждение называется Закон Больших чисел.

12 Многократно проводились опыты бросания однородной монеты, в которых подсчитывали число появления «герба», и каждый раз, когда число опытов достаточно велико, частота события «выпадения герба» незначительно отличалась от 1/2. Жорж Луи Леклерк Бюффон (1707 – 1788) Карл Пирсон (1857 – 1936).

13 Экспериментатор Число бросаний Число выпадений герба Частота Ж. Бюффон ,5080 К. Пирсон ,5016 К. Пирсон ,5006

14 Примеры

15 1. В урне 3 красных и 9 зеленых шаров. Из урны наугад вынимается 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется зеленым? Решение: Количество всех возможных результатов n=3+9=12. Опытов, в результате которых может быть вынут зеленый шар m=3. Ответ: 0, 25

16 2. Брошена игральная кость. Какова вероятность событий: А- выпало 1 очко; В- выпало 2 очка? Решение: Количество всех возможных результатов n=6 (все грани). а) Количество граней, на которых всего 1 очко m=1: б) количество граней, на которых всего 2 очка m=1: Ответ: и

17 3. Брошены 2 игральные кости. Какова вероятность событий: А- выпадения в сумме не менее 9 очков; В- выпадения 1 очка по крайней мере на одной кости? Решение: I II возможно n=36 результатов испытаний

18 Для события А : I II m=10: А- выпадения в сумме не менее 9 очков

19 Для события В : I II m=11: Ответ: В- выпадения 1 очка по крайней мере на одной кости

20 4. Монета брошена 2 раза. Какова вероятность события: А- выпадет одновременно два герба? Решение: Сколько всего возможно результатов опыта? Таким образом, всего возможно результатов n=4, нас интересующий результат возможен только один раз m=1, поэтому ГГ,ГР,РГ,РР Ответ: 0,25

21 Ошибка Даламбера Решение предложенное Даламбером : 1 Обе монеты упали на орла 2 Обе монеты упали на решку 3 Одна из монет орел, а вторая решка N=3 N(A)=2 P(A)=2/3 Какова вероятность что подброшенные вверх 2 правильные монеты упадут на одну и ту же сторону?

22 Правильное решение Правильное решение имеет 4 варианта 1. Первая монета упала на орла, вторая тоже на орла 2. Первая монета упала на решку, вторая тоже на решку 3. Первая монета упала на орла, а вторая на решку 4. Первая монета упала на решку, а вторая на орла N = 4 N (А) = 2 Р (А) =2/4

23 Задача (для сам. решения) Вороне где-то Бог послал кусочек сыра, брынзы, колбасы, сухарика и шоколада. «На ель ворона взгромоздясь, позавтракать совсем уж было собралась, да призадумалась». Какова вероятность того что она съест «бутерброд» из 2 кусочков обязательно содержащий колбасу?

24 5. Набирая номер телефона вы забыли последнюю цифру и набрали её наугад. Какова вероятность того, что набрана нужная вам цифра? Решение: n=10 Сколько всего цифр? Вы забыли только последнюю цифру, значит m=? Тогда, Ответ: 0,1

25 6. Из слова «математика» выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что это будет буква «м»? Решение: n – количество букв в слове, а m - количество нужной нам буквы «м». Ответ: 0,2

26 7. В коробке имеется 3 кубика: чёрный, красный и белый. Вытаскивая кубики наугад, мы ставим их последовательно друг за другом. Какова вероятность того, что в результате получится последовательность: красный, чёрный, белый?

27 Решение: Сколько всего возможно результатов опыта? Пусть Ч – черный кубик, К – красный кубик, Б – белый кубик, тогда ЧКБ, ЧБК, БЧК, БКЧ, КЧБ, КБЧ.n=6 Ответ: =1/6

28 8. В упаковке 50 ампул, из них 5 бракованные. Наугад вынимают одну ампулу. Найти вероятность того, что данная ампула бракованная. Решение: Сколько всего возможно результатов опыта? Сколько можно вынуть ампул бракованных ? n=50 Из упаковки можно вынуть только 5 бракованных ампул, поэтому m=5 Таким образом, получаем: Ответ: 0,1

29 9. Из урны, в которой находится 4 белых, 9 чёрных и 7 красных шаров, наугад вынимают один шар. Какова вероятность событий: А- появление белого шара; В- появление чёрного шара; С- появление красного шара; D- появление зелёного шара? Решение: Количество всех возможных результатов n=4+9+7=20. Опытов, в результате которых может быть вынут белый шар m=4. Опытов, в результате которых может быть вынут черный шар m=9. Опытов, в результате которых может быть вынут красный шар m=7. Опытов, в результате которых может быть вынут зеленый шар m=0 и P(D)=0. Ответ:

Две грани симметричного кубика окрашены в синий цвет, три – в зелёный, и одна – в красный. Кубик подбрасывают один раз. Какова вероятность того, что верхняя грань кубика окажется желтой? Решение: Сколько всего возможно результатов опыта? У кубика всего 6 граней, поэтому возможно 6 результатов опыта: n=6 Как найти m? Для этого нужно посчитать грани кубика, интересующего нас цвета, т.е. m=3 Тогда вероятность того, что верхняя грань кубика окажется желтой будет равна: Ответ: 0,5

31 Дома: 1. Монета бросается 3 раза подряд. Найти вероятность событий: А- число выпадений герба больше числа выпадений решки; В- выпадает два герба; С- результаты всех бросаний одинаковы. 2. Из урны, в которой находится 3 белых, 4 чёрных и 5 красных шаров, наудачу вынимается один шар. Какова вероятность событий: А- появление белого шара; В – появление чёрного шара; С- появление жёлтого шара; D- появление красного шара.

32 Основные теоремы теории вероятностей.

33 ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Суммой двух событий А и В называется событие А+В, которое состоит в том, что появляется событие А или событие В, или оба эта события. Суммой нескольких событий называется событие, которое состоит в том, что появляется хотя бы одно из этих событий. Теорема 1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий Р(А+В) = Р(А) + Р(В) Теорема_2. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Р(А 1 +А 2 +…+ А п )=Р(А 1 ) + Р(А 2 )+...+Р(А п ) Из этих теорем вытекают два следствия. Следствие I. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице. Р(А) + Р(Ā) = 1 Следствие 2. Сумма вероятностей событий, которые образуют полную группу равна единице. Р(А 1 ) + Р(А 2 )+...+Р(А п )=1 Теорема 3. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих двух событий минус вероятность их совместного появления. Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р{А В)

34 Пусть С - событие, что европейцы имеют группу крови A(I), D -событие, что европейцы имеют группу крови В(). Эти события несовместны, так как не могут происходить одновременно с одними и теми же людьми. Поэтому можно применить теорему 1 сложения. Искомая вероятность будет равна Р(С + D ) = Р{С) + P(D) = 0,46 + 0,34 = 0, Вероятность того, что европейцы имеют группу крови А(I), равна 0,46, группу В(II) - 0,34, группу АВ(Ш) - 0,15, группу 0(IV) - 0,05. Какова вероятность того, что у произвольно взятого донора группа крови будет А(I) или В(II)?

35 2. Перед кабинетом врача 30 пациентов: 5 мужчин, 10 женщин, 15 старушек. Какова вероятность того, что первый вошедший в кабинет будет мужчина или женщина? Пусть событие А - это появление мужчины, событие В - это появление женщины. Тогда вероятность появления мужчины равна Р(А) = 5/30 = 1/6. Вероятность появления женщины равна Р(В) = 10/30 = 1/3. События А и В несовместны, так как появление мужчины исключает появление женщины. Искомая вероятность равна Р(А) + Р(В)=1/6 + 1/3 = 1/2

36 3. Вероятность того, что в семье родится мальчик равна Р(А)=0,515. Какова вероятность того, что в семье родится девочка? Событие"рождение мальчика"и событие "рождение девочки" являются противоположными. Поэтому, если событие А – рождение мальчика, то событие Ā - рождение девочки. Искомая вероятность равна Р(Ā) = 1 - Р(А) = = 0,485

37 4. События А, В, С, D образуют полную группу. Вероятности событий А, В и С равны: Р(А) = 0,1; Р(В) = 0,4; Р(С) = 0,3. Найти вероятность события D. Так как события A,B,C,D образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице. Поэтому вероятность события D равна P(D) = 1 - [Р(А) + Р(В) + Р(С)] = 1 - 0,8 = 0,2

38 ТЕОРЕМЫ УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ События бывают зависимыми и независимыми. Событие В называется независимым от события А, если его вероятность Р(В) не зависит от того, произошло событие А или не произошло. Событие В называется зависимым от события А, если его вероятность Р(В) меняется в зависимости от того, произошло событие A или не произошло. Произведением двух событий А и В называется событие (АВ), которое состоит в совместном появлении события А и события В. Произведением нескольких событий называется событие, которое состоит в совместном появлении всех этих событий. Теорема 1. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событии Р(АВ) = Р(А) Р(В) Пример : Найти вероятность совместного появления герба при одновременном бросании двух монет. Вероятность появления герба при бросании 1 й монеты (соб. А) равна Р(А)= 1/2= 0,5. Вероятность появления герба при бросании 2 й монеты (соб. В) равна Р(В) = 1/2 = 0,5. Так как события А и В являются независимыми, то искомая вероятность по теореме умножения равна Р(А В)=Р(А) Р(В) = 0,5 0,5 = 0,25

39 Вероятность рождения в семье девочки Р(А) равна 0,515. Какова вероятность появления в семье четырех девочек? Пол каждого последующего ребенка не зависит от пола предыдущего. Вероятность появления в семье второй девочки (событие В), третьей (событие С) и четвертой (событие D) одинакова и равна 0,515. Все эти события не зависят друг от друга. Поэтому искомая вероятность равна P(ABCD) = Р(А) Р(В) Р(С) Р (D) = (0,515)4 = 0,07

40 условная вероятность Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности. Если событие В зависит от события А, то условной вероятностью события В называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А произошло. Условная вероятность в этом случае обозначается Р(В/А). Если событие В не зависит от события А, то выполняется равенство Р(В/А) = Р(В).

41 Теорема 2. Вероятность совместного появления двух зависимых событий А и В, причем В зависит от А, равна произведению вероятности первого из них Р(А) на условную вероятность другого Р(В/А) при условии, что первое событие произошло. Р(АВ)=Р(А). Р(В/А) Пример 1. В коробке лежат 3 красных шара и 3 желтых шара. Из коробки достают по одному шару и не кладут их обратно. В первый раз достали желтый шар. Какова вероятность того, что во второй раз достанут красный шар? Пусть А - событие, что достали желтый шар, а В - событие, что во второй раз достали красный шар. После первого испытания в коробке осталось 5 шаров - 2 желтый и 3 красных. Так как событие А наступило (желтый шар достали), то искомая условная вероятность равна Р(В/А)= 3/5

42 Пример 2. При автомобильной аварии пострадали 12-человек. Из них 4 человека получили ожоги. Машина скорой помощи доставляет в больницу по 2 человека. Какова вероятность того, что в машине окажутся: а) два пострадавших с ожогами; 6} два пострадавших 6eз ожогов. а). Пусть А - событие, что в машине оказался пострадавший с ожогами. Вероятность этого события равна Р(А) = 4/12 = 1/3. Если событие А произошло, то осталось 11 человек и из них 3 человека с ожогами. Пусть В - событие, что второй человек в машине будет с ожогами. Условная вероятность этого события равна Р(В/А) = 3/11. Вероятность того, что в машине скорой помощи окажутся 2 человека с ожогами равна Р(АВ)=Р(А) Р(В/А)= 1/3 3/11=1/11 б). Пусть С - событие, что в машине оказался пострадавший без ожогов. Вероятность этого событии равна Р(С) = 8/12 =2/3. Пусть D -событие, что второй человек в машине не имеет ожогов. Условная вероятность этого события P(D/С)=7/11. Вероятность того, что в машине окажутся два пострадавших без ожогов равна Р(С D )=Р(С) P(D/C)=2/37/ 11=14/33

43 Формула Байеса Пусть событие (гипотезы) В1, В2, ……Вn – образуют полную группу событий и при наступлении каждого из них, например Вi, событие А может наступить с некоторой условной вероятностью Р(А/Bi) Тогда: Р(А)=Р(В 1 ) Р(А/В 1 ) + P(B 2 ) Р(А/В 2 ) + …+Р(Вn) Р(А/Вn) Называется формулой полной вероятности, где: Р(В1)+Р(В2)+…+Р(Вn)=1 Пример: На склад поступили медикаменты в ампулах с 3 х предприятий. Изготовлено от общего количества на I предприятии -40% медикаментов; II предприятии– 35% медикаментов III предприятии – 25% медикаментов. Медикаментов I сорта (ампул без трещин) было изготовлено на I предприятии-90% II предприятии – 80% III предприятии – 70%. Какова вероятность того что взятая наугад деталь будет I сорта ? Обозначим события : В 1 – ампула изготовлена на I предприятии, В 2 - ампула изготовлена на II предприятии, В 3 - ампула изготовлена на III предприятии А – ампула оказалась первого сорта (без трещин). Из условия : Р(В 1 )=0,4; Р(В 2 )=0,35; Р(В 3 )=0,25. Р(А/В 1 )=0,9; Р(А/В 2 )=0,8; Р(А/В 3 )=0,7. Следовательно: Р(А)=Р(В 1 )Р(А/В 1 )+Р(В 2 )Р(А/В 2 )+Р(В 3 )Р(А/В 3 )=0,40,9+0,350,8 + +0,250,7=0,815

44 Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) В 1, В 2,…..Вn, где Р(В 1 )+ Р(В 2 )+…… +Р(В n )=1. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса Где P(Вi/А)- вероятность каждой из гипотез после испытания, в результате которого наступило А. Р(А/Вi) – условная вероятность события А после наступления Вi/Р(А) – полная вероятность. Пример В I ящике 8 белых и 6 черных шаров. Во II ящике 10 белых и 4 черных шаров. Наугад выбирают ящик и шары. Известно,что вынутый шар- черный. Какова вероятность того, что был выбран I ящик? Обозначим события : В 1 – выбран I ящик В 2 – выбран II ящик А – при проведении двух последовательных испытаний выбора ящика и выбора шара был выбран черный шар. Тогда Р(В 1 ) = 1/2, Р(В 2 ) = 1/2 Р(А/В 1 )= 6/14=3/7 ( вероятность извлечения черного шара после того,как выбран I ящик) Р(А/В 2 )= 4/14=2/7 (вероятность извлечения черного шара после того, как выбранII ящик) По формуле полной вероятности находим вероятность того, что шар черный: Р(А)= Р(В 1 ) Р(А/В 1 )+ Р(В 2 ) Р(А/В 2 )=1/23/7+1/22/7=5/14 Вероятность того что шар вынут из I ящика Р(В i /А)==

45 Повторение испытаний (последовательность независимых испытаний). Формула Бернулли (Биноминальное распределение) Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна р (где 0<р<1), событие А наступает ровно k раз (безразлично в какой последовательности), находится по формуле по формуле Бернулли: Р n (k)= p k. q n-k =C p k. q n-k, где q=1-р

46 1. Вероятность попадания в канал при лечении пульпита начинающим врачом в при одной попытке р=0.8. Какова вероятность 4-х попаданий при шести попытках ? Итак: n=6, k=4, p=1-0,8,= 0.2. По формуле Бернулли Р(4)= (0.8) (0,2) =15(0.8)4(0,2)2 = 0,246

47 2. Исходя из многолетних наблюдений вероятность вызова врача в дом возле дороги p=0.4. Какова вероятность того,что из 5 вызовов 2 будут в данный дом ? Итак: n=5,k=2,p=0.4. Следовательно: Р(2)= 0,42 06=0,35

48 3. Больному необходимо сделать переливание крови. Вероятность того, что у донора группа крови подходит р=0.3. Какова вероятность того, что из 5 доноров группа крови у 2-х окажется подходящей? Итак: n=5, к=2, Р=0,3 Следовательно Р(2) = 0.30,7=100.30,7=0,31

49 Задача (самостоятельно) Начинающая медицинская сестра попадает в вену с первого раза с вероятностью 0,9. В палате 6 пациентов. Найти вероятность того, что у 4 пациентов она возьмёт кровь на анализ с первого раза.