Правильные многогранники Человек проявляет интерес к правильным многоугольникам и многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа.

Многогранник называется правильным, если: он выпуклый; все его грани – равные правильные многоугольники; в каждой вершине сходится одинаковое число граней; все его двугранные углы равны.

Пусть при одной вершине сходится n ребер, тогда плоских углов при этой вершине будет тоже n, причем они все равны между собой. Пусть один из плоских углов равен x,тогда сумма плоских углов при вершине nx, и по свойству плоских углов многогранного угла получим nx < 360 0, откуда х = : n Угол правильного n-угольника равен α=180 0 (n-2):n Из таблицы видим, что начиная с n=7, плоский угол меньше 60 0, а такого правильного многоугольника не существует, поэтому остальные случаи рассматривать не будем. Таблица значений : n Таблица значений (n-2) : n n34567n3456 х α

Правильные многогранники В «Началах Евклида» мы находим строгое доказательство того, что существует только 5 выпуклых правильных многогранников, а их гранями могут быть только 3 типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пятиугольники.

Грани правильного многогранника – правильные треугольники 60 о 3=180 о <360 о. В этом случае правильный многогранник имеет 4 грани и называется тетраэдром. 60 о 4=240 о <360 о. В этом случае правильный многогранник имеет 8 граней и называется октаэдром. 60 о 5=300 о <360 о. В этом случае правильный многогранник имеет 20 граней и называется икосаэдром.

Грани правильного многогранника – правильные четырехугольники 90 о 3=270 о <360 о.В этом случае правильный многогранник имеет 6 граней и называется кексаэдром (кубом). 90 о 4=360 о, следовательно, больше правильных многогранников, грани которых квадраты, не существует.

Грани правильного многогранника – правильные пятиугольники. 108 о 3=324 о <360 о. В этом случае правильный многогранник имеет 12 граней и называется додекаэдром. 108 о 4>360 о, следовательно, больше правильных многогранников, грани которых – правильные пятиугольники, не существует.

Выпуклые правильные многоугольники Итак, известно всего 5 видов выпуклых правильных многогранников. Названия пришли из Древней Греции, в них указывается число граней: «эдра» - грани «тетра» - 4 «кекса» - 6 «окта» - 8 «икоса» - 20 «додека» -12

Выпуклые правильные многогранники Тетраэдр Куб (кексаэдр) Октаэдр Икосаэдр Додекаэдр

Теорема Эйлера Пусть В – число вершин Р – число ребер Г – число граней Тогда верно равенство: В – Р + Г = 2 Число λ = В – Р + Г называется Эйлеровой характеристикой. Согласно теореме Эйлера для выпуклого многогранника она равна 2.

Из истории… Все эти типы многогранников были известны в Древней Греции – именно им посвящена завершающая, ХIII книга «Начал» Евклида. Их называют также «платоновыми телами» - они занимали видное место в идеалистической картине мира философа Платона: тетраэдр – олицетворял огонь икосаэдр – воду куб – землю октаэдр – воздух додекаэдр – воплощал в себе «все сущее», символизировал мироздание, считался главнейшим.

Правильные выпуклые многогранники Известно всего видов правильных многогранников. Тетраэдр Октаэдр Икосаэдр Куб Додекаэдр

Невыпуклые правильные многогранники Кеплер первым начал изучать так называемые звездчатые многогранники, которые в отличии от тел Платона являются правильными невыпуклыми многогранниками. Он открыл 2 таких тела. Через 200 лет французский математик и механик Л. Пуансо ( ) открыл существование еще двух правильных невыпуклых многогранников. Благодаря работам Кеплера и Пуансо стало известно 4 таких фигуры. Их называют тела Пуансо. В 1812 г. О. Коши доказал, что других правильных звездчатых (невыпуклых) многогранников не существует.

Полуправильные выпуклые многогранники У них также все многогранные углы равны и все грани – равные многоугольники, но несколько разных типов. В настоящее время нам известно о существовании 13 полуправильных многогранников, открытие которых приписывается Архимеду.