«Расстояние между скрещивающимися прямыми»

ЗАДАЧИ ПОДГОТОВИТЕЛЬНОГО ЭТАПА

Задача 1 Доказать AA 1 (BB 1 C 1 ) A B C D A1A1 B1B1 C 1 D1D1

Задача 2 Доказать DC(ABD 1 C 1 ) A B C D A1A1 B1B1 C 1 D1D1

Задача 3 Доказать AC ( BB 1 D 1 D) A B C D A1A1 B1B1 C 1 D1D1

Задача 4 Доказать DC 1 (A 1 D 1 CB) A B C D A1A1 B1B1 C 1 D1D1

Задача 5 Доказать DB 1 (AD 1 C) A B C D A1A1 B1B1 C 1 D1D1

Задача 5 Доказать DB 1 (AD 1 C) A B C D A1A1 B1B1 D1D1 B 1 BD D1D1 O 2 O A 2 C 2 O O2O2 α β а B 1 D 1 - ? SIN α - ? B 1 D - ? COS α - ? OD 1 - ? SIN β - ? COS β -?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ

ОСНОВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ a и b : CD является общим перпендикуляром к a и b a b C M A D L B N

A B α α β ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ НАХОЖДЕНИЯ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ a и b αβ, a b ϲ β, A α, B β, AB β, AB = ρ ( a;b) А)

B C F D O α б) Проводим OF CD, OF – общий перпендикуляр к AB и CD: OF = ρ ( AB;CD)

ЗАДАЧИ НА КУБЕ

1. Найти ρ (AB;CD ) A B C D A1A1 B1B1 C 1 D1D1

2. Найти ρ (A 1 B;C 1 D ) A B C D A1A1 B1B1 D1D1

3. Найти ρ (AB;C 1 D ) A B C D A1A1 B1B1 D1D1

A B C D A1A1 B1B1 D1D1 4. Найти ρ (AA 1 ;B 1 C)

5. Найти ρ (A 1 A;B 1 D) A B C D A1A1 B1B1 C 1 D1D1

6. Найти ρ (AD;A 1 B) A B C D A1A1 B1B1 D1D1

7. Найти ρ (C 1 D;A 1 C) A B C D A1A1 B1B1 D1D1

8. Найти ρ (B 1 D;AC) A B C D A1A1 B1B1 D1D1

9. Найти ρ (A 1 B;AC) B A D C B1B1 A1A1 D1D1 C1C1 O 1 O O 2 O 3

10. Найти ρ (B 1 A;BD) B A D C B1B1 A1A1 D1D1 C1C1 O 1 O O 3 O 2

11. Найти ρ (C 1 E;FD 1 ) B D C B1B1 A1A1 D1D1 C1C1 O 1 O O 3 O 2 A F E

12. Найти ρ (O 1 M;BD), ЕСЛИ AM =MO A B C D A1A1 B1B1 C 1 D1D1 O 1 O M

13. Найти ρ (D 1 P;AD), ЕСЛИ DP =PC A B C D A1A1 B1B1 D1D1 K P

ЗАДАЧИ на правильных пирамидах, все ребра которых равны

A B C D S O L 1. Найти ρ (SO;AD)

A B C D S O 2. Найти ρ (SC;BD)

A B C D S O L 3. Найти ρ (SK;AD),ЕСЛИ DP =PC K

A B C D S O L 4. Найти ρ (SC;AD) K

A B C S O 5. Найти ρ (SO;AC)

A B C S O 6. Найти ρ (SB;AC)

A B C S O 7. Найти ρ (SF;AC), если OF =FB F

ЗАДАЧИ из вариантов ЕГЭ и вступительных экзаменов в ВУЗы

A B C S O N O 1 P 1. Найти расстояние между апофемой и скрещивающейся с ней стороной основания правильной треугольной пирамиды, ρ (SN;AC)

A B C D F 2. Прямая AD перпендикулярна плоскости Δ ABC. Найти расстояние между стороной AB Δ ABC и наклонной DC, ρ (DC;AC)

A B C S O M 3. Найти расстояние между скрещивающимися высотами граней правильного тетраэдра с ребром a. Первое решение - ρ (SM;BD) D K E

1) Проведем ME||BD; тогда (SME)||BD 2) Построим 3) A B C D M O K o K S P α 4) 5) 6) 7) E

A B C S O Второе решение - ρ (CN;BD) N D H L O 1

N O 1 L F α 1) Проведем СH||BD, получим (SCH)||BD; 2) Строим и 3) 4) 5)

527. Геометрия Атанасян Л.С. и др. Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус оснований цилиндра равен r, его высота равна h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найти: 1) h, если r = 10, d = 8, AB = 13. 2) d, если h = 6, r =5, АВ = 10 O 1 A A 1 B B 1 D O

1. Проведем образующие АА 1 и ВВ 1, построим плоскость (А 1 ВВ 1 А). 2. Т.К. образующие параллельны оси цилиндра ОО 1, то (А 1 ВВ 1 А) ОО 1. (А 1 ВВ 1 А) и ОО 1 перпендикулярны основаниям цилиндра. 3. Из точки О 1 проведем O 1 D А 1 В, O 1 D – общий перпендикуляр к (А 1 ВВ 1 А) и ОО Далее решается равнобедренный треугольник О 1 АВ 1.

Подводим итоги

1. При нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми проще использовать частные случаи нахождения расстояния – ищем частный случай на чертеже.

2. Если нужно найти расстояние между скрещивающимися прямыми a и b, то строим плоскость α, параллельную прямой а так, чтобы в лежала в этой плоскости и ищем длину перпендикуляра из любой точки прямой а на плоскость α, чаще всего это будет высота треугольника.

3. Расстояние между диагональю куба с ребром а и скрещивающейся с ней диагональю грани равно 4. Расстояние между скрещивающимися диагоналями смежных граней куба с ребром а равно

5. Расстояние между скрещивающимися высотами правильного тетраэдра равно или