Теоретический учебный материал по дисциплине «Математика и информатика» Кто боится будущих неудач, тот сам ограничивает поле своей деятельности. Неудачи - повод начать снова и более умно. Генри Форд
Теория вероятности Автор: к.ф.-м.н, доц. каф. «Информатика» Евич Л.Н.
3 Основные цели изучения данного материала В результате изучения данной темы студент должен: получить представление о месте и роли теории вероятности; знать основные понятия и определения данного курса (случайная величина; вероятность события; основные теоремы теории вероятности); уметь решать задачи по курсу.
4 Введение Сидят три студента и решают задачу по теории вероятностей: сто раз кинули монетку и все разы выпала решка. Что выпадет в сто первый раз? Математик: - С вероятностью 50% выпадет решка. Физик: - Эксперимент показал, что должна выпасть решка. Психолог: - Выпадет орел. - Почему? - А то что - все время решка да решка. Орлу ведь тоже хочется...
5 Введение Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.
6 Введение Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Случайное явление это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного в того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.
7 Введение Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.
8 Введение Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.
9 Основные определения Испытание (опыт) - наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного комплекса условий, который должен каждый раз строго выполняться при повторении данного испытания.
10 Основные определения Испытание (опыт) - наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного комплекса условий, который должен каждый раз строго выполняться при повторении данного испытания. Событие это всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.
11 Основные определения События Невозможные ДостоверныеСлучайные
12 События Невозможные ДостоверныеСлучайные Невозможные Основные определения
13 События Невозможные ДостоверныеСлучайные Достоверные Основные определения
14 События Невозможные ДостоверныеСлучайные Основные определения
15 События Невозможные ДостоверныеСлучайные Основные определения
16 Основные определения События Невозможные ДостоверныеСлучайные Приведите примеры невозможных; достоверных и случайных событий.
17 Основные определения События Невозможные ДостоверныеСлучайные Несовместные Совместные
18 Основные определения Полную группу образуют события, если в результате опыта произойдет хотя бы одно из них Достоверным называется событие, которое непременно произойдет при данной совокупности условий. Равновозможными называются события, если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. Независимыми называются события, если появление одного события не изменяет вероятности появления другого. В противном случае события зависимые
19 Вероятность события Вероятность какого либо события – численное выражение возможности его наступления
20 Классическое определение вероятности n - количество возможных несовместных исходов испытания m - количество исходов испытания, благоприятствующих событию А Событие А, появляющееся при каждом из m исходов и не появляющееся при остальных n–m исходах Вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу всех равновозможных несовместных исходов опыта: n исходов m исходов
21 Статистическое определение вероятности Пусть K - количество проведенных испытаний; n – количество раз, появления события А, в результате проведения K испытаний, тогда n называется частотой события, а отношение называется частотностью (относительной частотой) события. Математически: неограниченное число повторений испытания записывается в виде предела (lim) при K, стремящемся к бесконечности: K испытаний n
22 Закон больших чисел или Теорема Бернули Пусть K - количество проведенных испытаний; n – количество раз, появления события А, в результате проведения K испытаний, если K достаточно велико, то с вероятностью сколь угодно близкой к единице, отличие от Р(А) меньше любого наперед заданного положительного числа или, в символьной записи,
23 Действия над событиями Поле событий
24 Действия над событиями Сумма (объединение) событий Сумма (объединение) Произведение (пересечение) событий Произведение (пересечение) Достоверное событие Достоверное Невозможное событие Невозможное Несовместные события Несовместные
25 Действия над событиями Сумма (объединение) событий представляет собой сложное событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В. Объединение событий обозначается как B A, или A + В.
26 Действия над событиями Произведением (пересечением) событий А и В называется их совместное. Обозначается произведение событий как B A, или АВ.
27 Действия над событиями Достоверным событием называется событие, которое обязательно происходит в результате данного испытания. Оно обозначается обычно как Е.
28 Действия над событиями Невозможное событие – событие, которое не может произойти в результате данного испытания. Принятое обозначение –.
29 Действия над событиями Несовместными называются события, которые в результате данного испытания не могут произойти вместе. Примеры несовместных событий: попадание и промах при выстреле, выпадение двух и трех очков при бросании игральной кости. Рисунок наглядно показывает, что для несовместных событий АВ=.
30 Исчисление вероятности Основные правила вычисления вероятностей сложных событий 1. Вероятность достоверного события равна единице: 2. Вероятность объединения (суммы) несовместных событий равна сумме их вероятностей:
31 Исчисление вероятности Основные правила вычисления вероятностей сложных событий 3. Вероятность невозможного события равна нулю: P ( ) = Вероятность события, противоположного событию А, равна
32 Исчисление вероятности Основные правила вычисления вероятностей сложных событий 5. Теорема сложения вероятностей. Вероятность объединения произвольных событий равна сумме их вероятностей за вычетом вероятности произведения событий:
33 Исчисление вероятности Основные правила вычисления вероятностей сложных событий 6. Условная вероятность. Если требуется найти вероятность события В при условии, что произошло некоторое другое событие А, то такую ситуацию характеризуют с помощью условной вероятности P(B|A). Условная вероятность равна отношению вероятности произведения событий А и В к вероятности события А:
34 Исчисление вероятности Основные правила вычисления вероятностей сложных событий 7. Теорема умножения вероятностей.
35 Исчисление вероятности Основные правила вычисления вероятностей сложных событий 8. Условная вероятность P(A|B) совпадает с вероятностью события А, а условная вероятность P(B|A) с Р(В). Вероятности Р(А) и Р(В) в отличие от условных вероятностей называются безусловными.
36 Исчисление вероятности Основные правила вычисления вероятностей сложных событий Теорема умножения вероятностей для независимых событий:
37 Исчисление вероятности Основные правила вычисления вероятностей сложных событий 9. Вычислим вероятность появления хотя бы одного события в n испытаниях. Пусть А – появление в n испытаниях хотя бы один раз интересующего нас события. – интересующее нас событие не появилось в n испытаниях ни разу. А 1 – интересующее нас событие появилось в первом испытании. А 2 – интересующее нас событие появилось во втором испытании. …. А n – интересующее нас событие появилось в n-ом испытании.
38 Исчисление вероятности Основные правила вычисления вероятностей сложных событий 10. Формула полной вероятности. Если событие А может произойти только при появлении одного из несовместных событий Н 1, Н 2, …,Н n, то
39 Случайные величины Случайные величины (с.в.) – численное значение появляющееся в результате опыта, и принимающее произвольное значение из заранее определенного множества.
40 Случайные величины Случайные величины (с.в.) – численное значение появляющееся в результате опыта, и принимающее произвольное значение из заранее определенного множества. Случайные величины Дискретные Непрерывные
41 Дискретные случайные величины Дискретные случайные величины принимают в результате испытания одно из изолированного дискретного множества значений. Они хорошо подходят для описания результатов измерений, связанных с подсчетом и выражаемых целыми числами. Примеры дискретных случайных величин: число подтягиваний на перекладине, число попаданий в кольцо в серии из 10 штрафных бросков и т. п.
42 Дискретные случайные величины Вероятность принятия дискретной случайной величиной каждого из возможных ее значений больше нуля. Эта вероятность может быть записана как где i =....-1, 0, 1... Здесь X обозначение случайной величины; xi конкретные числовые значения, принимаемые дискретной случайной величиной; pi вероятности этих значений. Индекс i может в общем случае пробегать значения от до.
43 Дискретные случайные величины Функция, связывающая значения дискретной случайной величины с их вероятностями, называется ее распределением (законом распределения). Обычно закон распределения записывается в виде таблицы вида
44 Непрерывные случайные величины Непрерывные случайные величины в результате испытания могут принимать любые значения из некоторого интервала. Примеры непрерывных случайных величин: спортивный результат в беге или прыжках, рост и масса тела человека, сила мышц и др. Поскольку число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно велико и чаще всего нет оснований предположить, что одни значения появляются существенно чаще других, то вероятность принятия непрерывной случайной величиной каждого отдельного значения оказывается равной нулю.
45 Заключение Вы ознакомились с основным теоретическим материалом по теме «Теория вероятности». Для того чтобы научиться использовать представленный математический аппарат на практике (при решении задач) необходимо выполнить все практические и лабораторные занятия. Каждая практическая работа имеет все необходимые разъяснения и разобранные задачи с пояснениями. Надеюсь, что изученный материал не только будет вам полезен для сдачи экзамена, но и пригодится в жизни.