СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ Работу выполнила: ученица 8 класса Жихарева Е. Руководитель: учитель математики Суворов А.С.

Цель : Рассмотрение некоторых нестандартных способов решения квадратных уравнений на конкретных примерах. Задачи : Произвести анализ учебно – методической литературы по решению квадратных уравнений. Произвести анализ различных способов решения квадратных уравнений. Изучить различные способы решения квадратных уравнений и апробировать материал на практике.

План работы Определение квадратного уравнения. Виды квадратных уравнений. Способы решения неполных квадратных уравнений. Способы решения полных квадратных уравнений. Решение уравнений, приводимых к квадратным.

Уравнение вида Уравнение вида ax 2 +bx+c=0, (1)ax 2 +bx+c=0, (1) где a, b, и с - любые действительные числа, причём а 0, а х переменная, называется квадратным уравнением. Пример: 5 х²+7 х+3=0 (а=5, b=7, c=3.) 8 х-3 х²+5=0 (а=-3, b=8, с=5.)

Виды квадратных уравнений. Полные квадратные уравнения х+8 х²=0; x 2 - 2x-1=0, Приведённое. х² + рх+q=0 Неприведённое. 2x 2 +5x+6=0

Неполные квадратные уравнения. 1. ах 2 + bx = 0, где с=0. 2. ах 2 + с = 0, где b=0. 3. ax 2 = 0, где b=0, c=0.

Способы решения неполных квадратных уравнений.

ax 2 =0 (b=0, c=0) имеет равные между собой два корня x 1 =x 2 =0.

Использование ФСУ, разности квадратов. а) x 2 -25=0 (x-5)(x+5)=0 x 1 =5 x 2 = -5 б) (x-2) 2 -49=0 (x-2-7) (x-2+7)=0 x 1 =9 x 2 = -5

Способы решения полных квадратных уравнений. Способ группировки. x 2 -10x-24=0 x x+2x -24=0 (x 2 +2x) +(-12x-24)=0 x(x+ 2) -12(x+2)=0 (x-12)(x+2)=0 x 1 =12 x 2 = -2

Совокупность простых уравнений x-12=0 и x+2=0, равносильно данному уравнению, где х 1 = 12 и х 2 =-2 корни уравнения. При замене второго слагаемого суммой обращаем внимание на то, что слагаемые должны иметь делители со свободным членом.

Выделение квадрата двучлена с разложением по формуле разности квадратов. x 2 -8x-84=0 x 2 -8x =0 (x-4) =0 (x-4-10) (x-4+10)=0 x 1 =14 x 2 = -6

Графический способ решения квадратных уравнений. ax 2 +bx+c=0 ax 2 = - bx-c Строим графики y=ax 2 и y= - bx - c.

Формулы корней квадратного уравнения.

Теорема Виета. Теорема: Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Решение квадратных уравнений по коэффициентам.

Рассмотрим следующий способ решения квадратных уравнений - метод "переброски".

Решение уравнений приводящихся к решению квадратных уравнений.

Введём обозначение х 2 =z. Подставив в уравнение *, получим квадратное уравнение: z 2 +8z- 9=0. Решив квадратное уравнение получим z 1 =-9, z 2 = 1. Для нахождения значения x возвращаемся в равенство х 2 =z и вместо z подставим его значения. Тогда получим уравнения х 2 =z 1 и х 2 =z 2 т.е х 2 = -9 и х 2 =1 Уравнение х 2 = -9 корней не имеет, а уравнение х 2 =1 имеет два корня: х 1 =1 и х 2 =- 1.

Заключение. Вывод: приступая к решению любого квадратного уравнения, следует не спешить приступать к вычислению дискриминанта и применению формул корней квадратного уравнения, а сначала нужно проверить какой из способов решения квадратных уравнений будет рациональным и применить алгоритм.

Рассмотренные в моей работе способы решения квадратных уравнений были апробированы всеми учениками моего класса. Замечу, что ими овладели все одноклассники кто лучше, а кто хуже, но я знаю точно, что польза от того, что мы их знаем есть, хотя бы потому что мы выигрываем во времени.

Я считаю, что материалы, рассмотренные в моей работе, могут быть, полезны всем, кто любит математику и находится в поиске рациональных способов решения квадратных уравнений.

Спасибо за внимание!