Теория многогранников, в частности выпуклых многогранников, одна из самых увлекательных глав геометрии. Л. А. Люстерник

Параллелепипед Параллелепипед – поверхность, составленная из шести парольелограммов.

Тетраэдр Тетраэдр – поверхность, составленная из четырех треугольников. С А В SS

Октаэдр Октаэдр составлен из восьми треугольников. Многогранник - геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Каждая из этих поверхностей ограничивает некоторое геометрическое тело, отделяет это тело от остальной части пространства.

гранями. Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются гранями. ребрами. Стороны граней называются ребрами. вершинами Концы ребер – вершинами. диагональю Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

По числу граней различают четырехгранники, пятигранники и т. д.

Прямоугольный парольелепипед выпуклым Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Невыпуклый многогранник

Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на 2. Г + В = Р + 2 Формула Эйлера Число граней плюс число вершин минус число рёбер в любом многограннике равно 2. Г + В Р = 2

многогранник Число Эйлерова характеристика ГВР Г + В - Р = 2 Тетраэдр 446 Куб 6812 Паралле лепипед 6812 n- угольная пирамида n+1 2n Таблица 4+4-6= = =2 n+1+n+1 -2n=2

Определите количество граней, вершин и рёбер многогранника, изображённого на рисунке. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника. Задача

Выпуклый многогранник В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине < 360º. φ 1 + φ 2 + φ 3 < 360º. А φ1φ1 φ2φ2 φ3φ3 φ2φ2 φ3φ3 φ1φ1 α

Задача 219 План: 1) Доказать, что BDD 1 - прямоуг. 2) Найти BD из ABCD 3) Из BDD 1 найти < DD 1 B. 4) Из ВDD 1 найти DD º ? АВ С D A1 D1 C1 B1 5 ? ? ?

Задача 219 Решение: 1) BDD1-прямоуг., т.к. DD1 пл. ABC (по усл. пароль-д – прямоугольный). 2) ABD – прямоуг. BD² = AB²+ AD² - по т. Пифагора. BD = 12² + 5² = 13 см. 3) <DD1B= 90º - 45º= 45º. 4) BDD1 < B =<D1=45º BDD1- равнобедрен. DD1= DB = 13 см =ВВ1. А В С D A1 B1 C1 D1 45º º