МОУ-ОСОШ 1 г. Искитима Треугольники Геометрия 7-9 класс Составила : Козлова Татьяна Ученица 10 г класса Учитель : Фельзинг Ольга Ивановна

Содержание Из истории математики Определения Виды треугольников Некоторые свойства треугольников Признаки равенства треугольников Сумма углов треугольника Площадь треугольника Теорема Пифагора Признаки подобия треугольников Задачи Источники

Папирус Ахмеса Математический папирус Ахмеса древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное около 1650 до н. э. писцом по имени Ахмес на свиток папируса длиной 5,25 м. и шириной 33 см. Папирус Ахмеса был обнаружен в 1858 шотландским египтологом Генри Риндом и часто называется папирусом Райнда по имени его первого владельца. В 1870 папирус был расшифрован, переведён и издан. Ныне большая часть рукописи находится в Британском музеев Лондоне, а вторая часть в Нью - Йорке. Этот документ остается основным источником информации по математике древнего Египта. Он содержит чертежи треугольников с указаниями углов и формулами нахождения площадей. Во вступительной части папируса Райнда объясняется, что он посвящён «совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сущности, познанию их тайн». Все задачи, приведённые в тексте, имеют в той или другой степени практический характер и могли быть применены в строительстве, размежевании земельных наделов и других сферах жизни и производства. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами, пропорциональное деление, нахождение отношений.

Е В К Л И Д Евклид (Eνκλειδηζ), древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Сведения об Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в III веке до н. э. Евклид – первый математик александрийской школы. Его главная работа «Начала» (в латинизированной форме – «Элементы») содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвел итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. Из других сочинений по математике надо отметить работу «О делении фигур», сохранившуюся в арабском переводе, четыре книги «Конические сечения», материал которых вошел в произведение того же названия Аполлония Пергского, а также «Поризмы», представление о которых можно получить из «Математического собрания» Паппа Александрийского. Евклид – автор работ по астрономии, оптике, музыке и др. Дошедшие до нас произведения Евклида собраны в издании «Euclidis opera omnia», ed. J. L. Heibert et Н. Menge, v. 1–9, 1883–1916, дающем их греческие подлинники, латинские переводы и комментарии позднейших авторов.

Определения Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, (не лежащих на одной прямой) и трёх отрезков, соединяющих эти точки. Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие – катетами. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

В любом треугольнике: 1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот. 2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. 3. Сумма углов треугольника равна 180 º 4. Продолжая одну из сторон треугольника, получаем внешний угол. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним. 5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности ( a b – c; b a – c; c a – b ).

Виды треугольников Равнобедренный треугольник Прямоугольный треугольник Равносторонний треугольник

Некоторые свойства треугольников 1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 0, равен половине гипотенузы. 3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Признаки равенства треугольников 1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, то такие треугольники равны. 2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Сумма углов треугольника Сумма углов треугольника равна 180° Докажем, что ےА+ےВ+ےС=180°. Проведем через вершину В прямую а ׀׀ АС. Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 – накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому ے4=ے1, ے5=ے3. (1) Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развернутому углу с вершиной В, т.е. ے4+ے2+ے5=180°. Отсюда, учитывая равенства (1), получаем: ے1+ے2+ے3=180°, или ےА+ےВ+ےС=180° АС В a

Площадь треугольника Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту S=1/2AB*CH Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов S=1/2CH*HB А С D B Н

Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой с. Докажем, что Достроим треугольник до квадрата со стороной a+b. Площадь этого квадрата равна. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна, и квадрата со стороной с, поэтому Таким образом, откуда аb a b ab b a с с с с

Признаки подобия треугольников Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Задачи Дано: АСBD=O, AO=OC, BAO=DCO Доказать: BAO=DCO Доказательство: AO=OC, BAO=DCO (по условию) AOB=COD (вертикальные) AOB=COD по стороне и двум прилежащим к ней углам. Дано: ABC, A:B:С=2:3:4 Найти: углы ABC Решение: A+B+C=180º A=2xº B=3xº C=4xº 2x+3x+4x=180 9x=180 x=20 A=2·20=40º, B=3·20=60º, C=4·20=80º Ответ: A=40º, B=60º, C=80º. B C AD О A B C

Источники Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия, 7 – 9: Учеб. для общеобразоват. учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. – М.: Просвещение, Руденко В.Н., Бахурин Г.А. Геометрия для 7 – 9 кл. общеобразоват. учреждений/ Под ред. А.Я. Цукаря. – М.: Просвещение, 1994.

Желаю удачи в изучении математики !