ПРОЕКТ «Различные подходы к решению задач С2 Единого государственного экзамена» Учитель математики средней школы 11 г.Пушкино Мехралиева Светлана Анатольевна. svetlanamehral.ucoz.ru 2012 – 2013 год

Введение. Вид практико-ориентированного проекта – прикладной. Направление проекта – методическое. Предмет исследования: Задача С 2 Единого государственного экзамена. Цель работы: подготовить учащихся старшей школы к успешной сдаче Единого государственного экзамена; создать целостное представление о методах решения задач С2 и значительно расширить спектр задач, посильных для учащихся; развить интерес школьников к предмету, познакомить их с новыми идеями и методами. Задачи работы: рассмотреть взаимное расположение точек, прямых и плоскостей на многогранниках показать основные виды задач типа С2 изложить методы решения стереометрических задач С2.

Содержание критерия Баллы Обосновано получен верный ответ 2 Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение не достаточно обосновано. 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. 0 Критерии оценивания задания С2

Расстояние от точки до прямой Расстояние от точки до плоскости Расстояние между скрещивающимися прямыми Угол между двумя прямыми Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями Виды задач С 2:

Основные методы решения задачи С 2 поэтапно-вычислительный( метод опорных задач ): традиционный метод опирается на определения расстояния или угла, и требует от учащихся развитого пространственного воображения, применение данного метода состоит в применении известных опорных задач, которые в большинстве случаев формулируются как теоремы; метод координат: универсальный метод, может быть использован при решении задач любого вида; применение векторов: также может быть использован при решении задач любого вида; применение формул : площади ортогональной проекции многоугольника, объёма пирамиды, высоты треугольника, параллелограмма или трапеции.

Угол между прямыми 6 a b - пересекающимися - скрещивающимися a b b1b1b1b1

Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся. Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен Угол между параллельными прямыми считается равным нулю. Угол между прямыми

Задача Трапеция АВСD (AD и ВС – основания) и треугольник АЕD лежат в разных плоскостях. МР – средняя линия АЕD. Чему равен угол между прямыми МР и АВ, если АВС = 110°. А С В D E M P Ответ: 70°

9 Теорема о трех перпендикулярах: Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

(поэтапно-вычислительный метод) Угол между прямыми (поэтапно-вычислительный метод) Задача 1 диагн. р.2, В кубе A… D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и BD 1. Решение. А 1 В – ортогональная проекция BD 1 на плоскость ВАА 1. По теореме о трёх перпендикулярах: Ответ: 90°

А С В D А1А1 С1С1 В1В1 D1D1 Е F K Ответ: cosα = 0,8 Р М (поэтапно-вычислительный метод) Угол между прямыми (поэтапно-вычислительный метод)

Угол между прямыми (координатный метод) 12 a b А В С D 1. A(x 1 ;y 1 ;z 1 ); B (x 2 ;y 2 ;z 2 ); Алгоритм решения: C(x 3 ;y 3 ;z 3 ); D(x 4 ;y 4 ;z 4 ).

Задача. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, отмечены точки E и F середины сторон SB и SC соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF. Угол между прямыми (координатный метод) Введем прямоугольную систему координат: начало в точке A, оси x и y направим вдоль AB и AD соответственно, а ось z направим вертикально вверх. Единичный отрезок равен AB = 1. Точки E и F середины отрезков SB и SC соответственно, поэтому их координаты находятся как среднее арифметическое концов. Выпишем координаты интересующих нас точек: у x z Решение.

Угол между прямыми (координатный метод) A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0) Ответ: arccos (1/6) у x z Зная координаты точек, найдем координаты направляющих векторов AE и BF: Координаты вектора AE совпадают с координатами точки E, т.к.точка A начало координат. Найдём косинус угла между прямыми AE и BF :

(векторный метод) Угол между прямыми (векторный метод) 15 Угол между прямыми считается не превосходящим 90 0, а косинус такого угла положительным.

векторный метод Угол между прямыми (векторный метод) Задача 3 диагн. р.2, Задача 3 диагн. р.2, В правильной шестиугольной призме A…F 1, все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BD 1. Решение. Решение. Введём базисные векторы:

Угол между прямой и плоскостью Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и ее ортогональной проекцией на данную плоскость. Считают также, что прямая, перпендикулярная плоскости, образует с этой плоскостью прямой угол.

Угол между прямой и плоскостью (поэтапно-вычислительный метод) Решение: Плоскость BB 1 F 1 перпендикулярна плоскости ADE 1 и пересекает ее по прямой QF 1. В прямоугольном треугольнике QB 1 F 1 имеем: QB 1 = 2, B 1 F 1 =. Высота B 1 H этого треугольника равна. Ответ: В прямоугольном треугольнике AB 1 H имеем: AB 1 =, B 1 H =, Следовательно, В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AB 1 и плоскостью ADE 1.

Угол между прямой и плоскостью Если прямая лежит в одной из двух перпендикулярных плоскостей, то угол между прямой и плоскостью равен углу между этой прямой и линией пересечения плоскостей.

Угол между прямой и плоскостью (координатно-векторный метод) Задача. В правильной треугольной пирамиде DABC боковое ребро равно 3, а сторона основания равна 22. Найти угол между боковым ребром DA и плоскостью боковой грани DBC. Решение. Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат так, что точка О – центр треугольника, лежащего в основании( точка пересечения медиан). z х у Уравнение плоскости SBС задаётся в виде: O

Угол между прямой и плоскостью (координатно-векторный метод) Уравнение плоскости принимает вид: Вектор нормали:Вектор Находим угол между данными векторами: он равен синусу угла наклона бокового ребра SA к плоскости грани SBC:

Угол между прямой и плоскостью (традиционный метод с применением формул) M T O Задача. В правильной треугольной пирамиде DABC боковое ребро равно 3, а сторона основания равна 22. Найти угол между боковым ребром DA и плоскостью боковой грани DBC. Решение. Сделаем некоторые дополнительные построения: Проведём АМ DT, получим, что отрезок АМ (DBC), и проекцией отрезка AD на плоскость (DBC) является отрезок DM. Для нахождения угла ADM дважды запишем выражения для площади треугольника ADT:

Угол между прямой и плоскостью (метод применения формул) M T O Задача. В правильной треугольной пирамиде DABC боковое ребро равно 3, а сторона основания равна 22. Найти угол между боковым ребром DA и плоскостью боковой грани DBC. Задачу можно решить по – другому, если заметить, что где АМ DT

Величина двугранного угла измеряется величиной соответствующего линейного угла. Чтобы построить линейный угол двугранного угла, нужно взять на линии пересечения плоскостей произвольную точку, и в каждой плоскости провести из этой точки луч перпендикулярно линии пересечения плоскостей. Угол, образованный этими лучами и есть линейный угол двугранного угла: Угол между двумя плоскостями (двугранный угол) равен углу между перпендикулярными к этим плоскостям прямыми. Будем считать угол между плоскостями острым (или прямым).

Угол между плоскостями измеряется углом между нормалями ( n и m ) к этим плоскостям. Угол между двумя плоскостями

Величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла. Пусть плоскости и заданы уравнениями: Косинус угла между плоскостями находится по такой формуле: В ответе мы записываем, так как величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла.

Задача (Стат Град-12 г). В правильной четырёхугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны основания равны единице, а боковые рёбра равны 5. На ребре АА 1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА 1 = 2:3. Найти угол между плоскостями АВС и ВЕD 1. Решение. Прямая D 1 Е пересекает прямую АD в точке К. Плоскости ABC и BED 1 пересекаются по прямой КВ. ЕН КВ, АН КВ. Угол АНЕ – линейный угол двугранного угла между плоскостями ABC и BED 1. EA 1 = AA 1 – AE =3. AКЕ~ A 1 D 1 E В АКВ <А=90° Угол между плоскостями (поэтапно-вычислительный метод)

А В1В1 С1С1 А1А1 D1D1 D С В Задача (Стат Град-12 г).В правильной четырёхугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны основания равны единице, а боковые рёбра равны 5. На ребре АА 1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА 1 = 2:3. Найти угол между плоскостями АВС и ВЕD 1. Задача (Стат Град-12 г). В правильной четырёхугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны основания равны единице, а боковые рёбра равны 5. На ребре АА 1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА 1 = 2:3. Найти угол между плоскостями АВС и ВЕD Е 1 1 Решение. ABD – ортогональная проекция BED 1. Поэтому для нахождения искомого угла можно использовать ABD – ортогональная проекция BED 1. Поэтому для нахождения искомого угла можно использовать формулу площади ортогональной проекции: Угол между плоскостями ( по формуле)

Задача (Стат Град-12 г). В правильной четырёхугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны основания равны единице, а боковые рёбра равны 5. На ребре АА 1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА 1 = 2:3. Найти угол между плоскостями АВС и ВЕD 1. Угол между плоскостями (координатный метод) В1В1 А1А1 D1D1 С1С1 С А В D 1 z х у (0;0;0) Е (1;0;0) (0;0;2) (1;1;0) (0;1;5) Решение. Составим уравнение каждой плоскости:

Угол между плоскостями (векторный метод) Задача (Стат Град-12 г). В правильной четырёхугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны основания равны единице, а боковые рёбра равны 5. На ребре АА 1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА 1 = 2:3. Найти угол между плоскостями АВС и ВЕD 1. Решение. А В1В1 С1С1 А1А1 D1D1 D С В Е 1 1 Выберем базисные векторы: 3

Угол между плоскостями (векторный метод) А В1В1 С1С1 А1А1 D1D1 D С В Е 1 1

Расстояние от точки до прямой Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой. a b h

Расстояние от точки до прямой (поэтапно-вычислительный метод) Задача ( ЕГЭ-11 г): В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, стороны основания которой равны 4, а боковые рёбра равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой F 1 E 1. Т.к. A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 - правильный шестиугольник, то прямые В 1 F 1 и F 1 E 1 перпендикулярны, следовательно, прямые BF 1 и F 1 E 1 перпендикулярны( по ТТП). Расстояние от точки В до прямой F 1 E 1 равно длине отрезка BF 1. В 1 F 1 =43,тогда из ВF 1 B 1 : BF 1 = 7. Ответ: 7. Решение опирается на определение расстояния :

Расстояние от точки до прямой можно вычислить, как длину отрезка перпендикуляра, если удается включить этот отрезок в некоторый треугольник в качестве одной из высот (по формуле) Задача: В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, найдите расстояние от точки F до прямой BG, где G – середина ребра SC. Решение: Искомое расстояние от точки F до прямой BG равно высоте FH треугольника FBG, в котором FB = FG =3 ( FG – высота равностороннего треугольника SFC). Из BSC Находим высоту FH треугольника FBG

Расстояние от точки до прямой (координатный метод) Задача: В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания равны 2, а боковые рёбра – 3. Найти расстояние от вершины S пирамиды до прямой МК, где М – середина АВ, К – середина SE. S A C O D E F x y z B М К М К S h

Расстояние от точки до прямой (векторный метод) Н Задача (Тр. 4, 8): В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1. Найти расстояние от точки В до прямой АD 1. Решение Пусть Н – ортогональная проекция точки В на прямую AD 1.

Расстояние от точки до плоскости Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью.

Расстояние от точки M до плоскости α : 1) равно расстоянию до плоскости αот произвольной точки P, лежащей на прямой l, которая проходит через точку M и параллельна плоскости α ; 2) равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки P, лежащей на плоскости α, которая проходит через точку M и параллельна плоскости α. Расстояние от точки до плоскости α β М Р l

В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до плоскости BDA 1. Ответ: Решение: Диагональ AC 1 куба перпендикулярна плоскости BDA 1. Обозначим O - центр грани ABCD, E - точка пересечения AC 1 и плоскости BDA 1. Длина отрезка AE будет искомым расстоянием. В прямоугольном треугольнике AOA 1 имеем AA 1 = 1; AO = ; OA 1 =. Следовательно, AE = Расстояние от точки до плоскости (поэтапно-вычислительный метод)

В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до плоскости CB 1 D 1. Ответ: Решение: Плоскость CB 1 D 1 параллельна плоскости BDA 1, и отстоит от вершины C 1 на расстояние (см. предыдущую задачу). Учитывая, что длина диагонали куба равна, получим, что искомое расстояние AF равно. Выводы: расстояние между параллельными плоскостями A 1 DВ и СВ 1 D 1 равно В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 диагональ AC 1 перпендикулярна плоскостям A 1 BD и CB 1 D 1 и делится ими на три равные части. О Расстояние от точки С до плоскости А 1 BD равно расстоянию от точки О до плоскости A 1 DB и равно

Расстояние от точки до плоскости (поэтапно-вычислительный метод) Тр.р.6. Задача 6. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, найдите расстояние между прямыми SB и AF. Решение. AF параллельна плоскости ESB, SB лежит в плоскости ESB. Задача сводится к нахождению расстояния от AF до плоскости ESB. Это есть AH BE. В трапеции ВAFE BE=2. AF=1,BH=1/2. По теореме Пифагора находим AH: н Ответ:

В общем случае рассматривают равенство объемов одной фигуры, выраженные двумя независимыми способами. Если объем пирамиды АВСМ равен V ABCM, то расстояние от точки M до плоскости α, содержащей треугольник АВС, вычисляют по формуле Расстояние от точки до плоскости (метод объемов)

Задача (Тр. 5, 1): В единичном кубе А…D 1 найдите расстояние от точки А до плоскости СB 1 D 1. Решение Применим формулу объёма пирамиды: Пусть АН – искомое расстояние – высота пирамиды ACB 1 D 1. Н Расстояние от точки до плоскости (метод объемов)

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости SBC. Ответ: Решение. Обозначим E, F – середины ребер AD, BC. Искомое расстояние равно высоте EH треугольника SEF, в котором SE = SF =, EF = 1. Откуда, EH = Расстояние от точки до плоскости ( по формуле )

Задача (Тр. 5, 1): В единичном кубе А…D 1 найдите расстояние от точки А до плоскости СB 1 D1. Расстояние от точки до плоскости (координатно-векторный метод). Решение. Пусть АН – искомое расстояние АН (CB 1 D 1 );Н(х;у;z); АН{x-1;y;z} Н х х у z (1;0;0) (0;0;1) (1;1;1) (0;1;0) АНD 1 B 1 {1;1;0}АН CB 1 {1;1;0} АН CH {x;y-1;z}

Уравнение плоскости имеет вид a x + by + cz + d = 0,где коэффициенты – координаты вектора нормали к плоскости (вектора, перпендикулярного плоскости). A(x 1,y 1,z 1 ) C(x 3,y 3,z 3 ) M(x,y,z)B(x 2,y 2,z 2 ) Раскрыв определитель третьего порядка, получим уравнение плоскости.

Расстояние от точки до плоскости (координатный метод) Задача (Тр. 5, 1): В единичном кубе А…D 1 найдите расстояние от точки А до плоскости СB 1 D 1. Н х х у z (1;0;0) (0;0;1) (1;1;1) (0;1;0) Решение

Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра. 3) равно ρ (a;b) = ρ (A;b), где A = a α, b = b 1 : если ортогональная проекция на плоскость α переводит прямую а в точку А, а прямую b в прямую b 1, то расстояние между скрещивающимися прямыми а и b равно расстоянию от точки А до прямой b 1. Расстояние между скрещивающимися прямыми 1) равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно первой прямой; 2) равно расстоянию между двумя параллельными плоскостями, содержащими эти прямые; α А α a b1b1 a в α β

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми (координатный метод) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны основания равны 3 и 2, а боковые рёбра равны 4. На ребре СС 1 отмечена точка К так, что СК : КС 1 = 1:3. Найти расстояние между прямыми ОК и МD,где М – середина В 1 С 1,О –точка пересечения диагоналей основания В1В1 А1А1 D1D1 С1С1 С А В D z х у О (1,5;1;0) К D (3;0;0) М (0;0;2) ОК (1,5;1;1) К (3;2;1) М О Решение МD (1,5;-2;-4) МO (0;-1;-4)

Тр.р.6. Задача 6. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, найдите расстояние между прямыми SB и AF. Расстояние между скрещивающимися прямым ( поэтапно-вычислительный метод ) Н Решение. AF BE AF ( BSE) Задача сводится к нахождению расстояния от AF до плоскости BSE. Проведём AH BE. В трапеции BAFE BE = 2, AF = 1, BH = ½, AB= 1. Ответ:

Расстояние между скрещивающимися прямыми (векторный метод) Тр.р.6. Задача 3. В правильной треугольной призме АВСА 1 В 1 С 1, все стороны которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АВ и СВ 1. F N Решение. Пусть FN –общий перпендикуляр прямых АВ и СВ 1 Введём базисные векторы: Ответ:

Информационные ресурсы Павлов А.Н. Лекции курса « Особенности методики обучения математике в условиях новой формы итоговой аттестации за курс средней школы». Смирнов В. А.. «ЕГЭ Задача С2.Геометрия. Стереометрия.» Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н. «Векторы и координаты в решении задач школьного курса стереометрии». Корянов А.Г., Прокофьев А.А. « Типовые задания С2. Виды задач и методы их решения.» Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.].– М.: Просвещение, Единый государственный экзамен Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ– М.: Интеллект-Центр, 2012.