Решение задач на проценты ПРИ ПОДГОТОВКЕ ГИА Садкова Ирина Николаевна МОУ СОШ уч.г.

Актуальность темы Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимо каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает широкие стороны нашей жизни. Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимо каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает широкие стороны нашей жизни.

Основные понятия, связанные с процентами Три основных действия: Три основных действия: 1. Нахождение процентов данного числа 1. Нахождение процентов данного числа Чтобы найти a% от b, надо b*0,01a Чтобы найти a% от b, надо b*0,01a 2. Нахождение числа по его процентам 2. Нахождение числа по его процентам Если известно, что a% числа x равно b, то x=b:0,01a Если известно, что a% числа x равно b, то x=b:0,01a 3. Нахождение процентного отношения чисел. Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100: 3. Нахождение процентного отношения чисел. Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100:

Основные типы задач на проценты 1. Одна величина больше(меньше) другой на p%. 1. Одна величина больше(меньше) другой на p%. Если a больше b на p%,то a=b(1+0,01p) Если a больше b на p%,то a=b(1+0,01p) Если a меньше b на p%,то a=b(1-0,01p) Если a меньше b на p%,то a=b(1-0,01p) Пример. Пример. На сколько процентов надо увеличить 90, чтобы получить 120? На сколько процентов надо увеличить 90, чтобы получить 120? Ответ: Ответ:

2. Если a возросло на р%, то новое значение равно a(1+0,01p) 2. Если a возросло на р%, то новое значение равно a(1+0,01p) Если a уменьшили на р%, то новое значение равно a(1-0,01p) Если a уменьшили на р%, то новое значение равно a(1-0,01p) Если число a увеличили(уменьшили) Если число a увеличили(уменьшили) на p%, а затем полученное уменьшили (увеличили) на p%, то новое значение равно a(1+0,01p)(1-0,01p) или на p%, а затем полученное уменьшили (увеличили) на p%, то новое значение равно a(1+0,01p)(1-0,01p) или

Нахождение процентов числа 1. Выразите в виде обыкновенной и десятичной дроби: 1%,39%,17%,25%,20%,10%,100%,117 % 1. Выразите в виде обыкновенной и десятичной дроби: 1%,39%,17%,25%,20%,10%,100%,117 % 2. Выразите в процентах: 0,01; 0,99; 0,25; 0,7; 1,02; 1,21 2. Выразите в процентах: 0,01; 0,99; 0,25; 0,7; 1,02; 1,21 3. Найдите 1% 3. Найдите 1% от: а) 1 рубля; б)1 метра; в) 1 центнера от: а) 1 рубля; б)1 метра; в) 1 центнера 4. Найдите 5%, 17%, 23% 4. Найдите 5%, 17%, 23% от: а) 1 рубля; б)1 метра; в) 1 центнера от: а) 1 рубля; б)1 метра; в) 1 центнера

Как записать дробь 0,08 в виде процентов ? Какой из следующих ответов верный? А. 0,08%. В. 0,8%. С. 8%. D. 80%. 1 Как записать дробь 1,08 в виде процентов ? 111 А %. В. 1 08%. С. 1 8%. D. 80%. Какой из следующих ответов верный? УСТНО

Задачи для самостоятельной работы Нахождение числа по его проценту 1. Чему равно число, 1% которого равна 56? 2. Чему равно число, 1% которого равен 96? 3. Чему равно число, 3% которого равны 63? 4. Если 8% пути составляют 48 км, чему равен весь путь? 5. Если 55% класса, или 22 человека, учатся без троек, сколько учеников всего в этом классе? = 0,01

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Решение задачи 1 64* 0,25 = 16 км – турист прошел в 1-ый день 2 64 – 16 = 48 км – осталось пройти после 1-го дня 3 48 *0,5 = 24 км – турист прошел во 2-ой день Ответ: 24 км 1. Турист должен был пройти 64 км. В первый день он прошел 25% всего пути, во второй день 50% оставшегося пути. Сколько километров ему осталось еще пройти?

Задачи для зачётов 2. На весенней распродаже в одном магазине шарф стоимостью 350 р. уценили на 40%, а через неделю еще на 5%. В другом магазине шарф такой же стоимостью уценили сразу на 45%. В каком магазине выгоднее купить шарф? 3. Рабочий в феврале увеличил производительность труда по сравнению с январем на 5%, а в марте увеличил ее снова по сравнению с предыдущим месяцем на 10%. Сколько деталей изготовил рабочий в марте, если в январе изготовил 200 деталей? 4. На овощную базу привезли 10 тонн крыжовника, влажность которого 99%. За время хранения на базе влажность уменьшилась на 1%. Сколько тонн крыжовника теперь хранится на базе? 5. На конкурсе присутствовало 90% членов жюри. Из них 12 человек отдали свои голоса за присуждение первого места. Сколько всего человек в жюри, если за этого конкурсанта проголосовало 66% членов жюри?

Решение задач для зачётов 2. На весенней распродаже в одном магазине шарф стоимостью 350 р. уценили на 40%, а через неделю еще на 5%. В другом магазине шарф такой же стоимостью уценили сразу на 45%. В каком магазине выгоднее купить шарф? задача 2 350*0,4 = 140 р. – 1-ая уценка 350 – 140 = 210 р – стоимость шарфа после уценки в 1-ом магазине 210*0,05 = 10,5 р. – 2-ая уценка 210 – 10,5 = 199,5 р. – стоимость шарфа в 1-ом магазине 350*0,45 = 157,5 р. – уценка шарфа во 2-ом магазине 350 – 157,5 = 192,5 р. – стоимость шарфа во втором магазине Ответ: во втором магазине выгоднее купить шарф 3. Рабочий в феврале увеличил производительность труда по сравнению с январем на 5%, а в марте увеличил ее снова по сравнению с предыдущим месяцем на 10%. Сколько деталей изготовил рабочий в марте, если в январе изготовил 200 деталей? задача 3 200*1,05 = 210 дет. изготовил рабочий в феврале 210*1,1 = 231 дет. – изготовил рабочий в марте Ответ: 231 деталь 4. На овощную базу привезли 10 тонн крыжовника, влажность которого 99%. За время хранения на базе влажность уменьшилась на 1%. Сколько тонн крыжовника теперь хранится на базе? задача *0,01 = 0,1 кг – сухого вещества 99% - 1% = 98% - стала влажность 100% - 98% = 2% = 0,02 - составляет сухое вещество 0,1 : 0,02 = 10 : 2 = 5 т крыжовника на базе Ответ: 5 т

5. Папа вложил 5000 р. в акции своего предприятия и получил 20% дохода. Сколько рублей дохода получил папа? 5. Папа вложил 5000 р. в акции своего предприятия и получил 20% дохода. Сколько рублей дохода получил папа? 6. Папа потратил премию р. На подарки жене и детям. 40% этой суммы он потратил на подарок жене, 30% - сыну и 30% дочери.Все ли деньги потратил папа? 6. Папа потратил премию р. На подарки жене и детям. 40% этой суммы он потратил на подарок жене, 30% - сыну и 30% дочери.Все ли деньги потратил папа? 7. Туристы проехали 80% намеченного маршрута на поезде и 15% на автобусе. Весь ли маршрут они уже проехали? 7. Туристы проехали 80% намеченного маршрута на поезде и 15% на автобусе. Весь ли маршрут они уже проехали?

Нахождение числа по его процентам 1. Посадили семена гороха. 270 из них взошли. Это составило 90% всех посаженных семян. Сколько семян посадили? 1. Посадили семена гороха. 270 из них взошли. Это составило 90% всех посаженных семян. Сколько семян посадили? 2. Найти число: а) 13% которого равны 39, б) 150% которого равны Найти число: а) 13% которого равны 39, б) 150% которого равны После снижения цены на 20% прибор стал стоить 160 р. Какова была его первоначальная цена? 3. После снижения цены на 20% прибор стал стоить 160 р. Какова была его первоначальная цена?

Нахождение процентного отношения 1. Сколько процентов числа 50 составляет число 40? Сколько процентов числа 40 составляет число 50? 1. Сколько процентов числа 50 составляет число 40? Сколько процентов числа 40 составляет число 50? 2. Посадили 50 семян, 47 из них взошли. Определите процент всхожести семян. 2. Посадили 50 семян, 47 из них взошли. Определите процент всхожести семян. 3. Цена товара снизилась с 40 р. до 30 р. На сколько рублей снизилась цена? На сколько процентов снизилась цена? 3. Цена товара снизилась с 40 р. до 30 р. На сколько рублей снизилась цена? На сколько процентов снизилась цена?

В каких пропорциях нужно смешать а%-й и в % растворы кислоты (ав),чтобы получить с%-й раствор ? Концентрация раствора Масса раствора Масса кислоты ах 0.01 ах вуО,01 ву сх+у 0,01 с(х+у) 0,01 а+0,01 ву=0,01 с(х+у) (в-с)у=(с-а)х Х:у=(в-с) :(с-а) с а в а-с В-с а,в-концентрации исходных растворов,с-требуемая Различные способы решения задач

Задача.Сколько по массе 90% и 60% растворов фосфорной кислоты надо взять,чтобы получить 5,4 кг 80% раствора фосфорной кислоты? 80 90(х кг) 60(укг) х:у=20:10=2:1,90%раствора кислоты в 2 раза больше 60% х=2 у,2 у+у=5,4; у=1,8 ответ 3,6 кг 90% и 1,8 60%

Задача. В колбе 140 мл. 10%-ного раствора марганцовки. Долили 60 мл.30%-ного раствора марганца. Определите % - ное содержание марганца в полученном растворе? А=в:с Быловса 0,1*140=14(мл)140 мл 0,1 Добавили 0,3*60=18(мл)60 мл 0,3 Стало мл? 32:200*100% =16% 1 способ 2 способ 10% взяли х мл,30%-у мл;получили 200 мл,где 200*0,16=32(мл),составим систему: х+у=200 0,1 х+0,3 у=32 х=140;у=60 Сколько нужно взять 10% и 30%,чтобы получить 200 мл. 16% ?

Сложные задачи на проценты. 1. Число увеличили на 10%, а потом еще на 10%. На сколько процентов увеличили число за два раза? 1. Число увеличили на 10%, а потом еще на 10%. На сколько процентов увеличили число за два раза? 2. Каждую строну квадрата увеличили на 20%. На сколько процентов увеличили его площадь? 2. Каждую строну квадрата увеличили на 20%. На сколько процентов увеличили его площадь? 3. Имеется 500 г 40%-го раствора кислоты. Сколько воды требуется добавить, чтобы получить 25%-й раствор кислоты? 3. Имеется 500 г 40%-го раствора кислоты. Сколько воды требуется добавить, чтобы получить 25%-й раствор кислоты? 4. Деньги, вложенные в акции известной фирмы, приносят ежегодно 20% дохода. За сколько лет вложенная сумма удвоится? 4. Деньги, вложенные в акции известной фирмы, приносят ежегодно 20% дохода. За сколько лет вложенная сумма удвоится?

Примеры. Примеры. a) Цену товара снизили на 30%, затем новую цену повысили на 30 %.Как изменилась цена товара? a) Цену товара снизили на 30%, затем новую цену повысили на 30 %.Как изменилась цена товара? Ответ: снизилась на 9%. Ответ: снизилась на 9%. б) Цену товара повысили на 20%, затем новую цену снизили на 20%. Как изменится цена товара? б) Цену товара повысили на 20%, затем новую цену снизили на 20%. Как изменится цена товара? Ответ: цена снизилась на 4%. Ответ: цена снизилась на 4%.

Формула сложных процентов Если при вычислении процентов на каждом следующем шаге исходят от величины, полученной на предыдущем шаге, то говорят о начислении сложных процентов( проценты на проценты) Если при вычислении процентов на каждом следующем шаге исходят от величины, полученной на предыдущем шаге, то говорят о начислении сложных процентов( проценты на проценты) В этом случае применяется формула сложных процентов: В этом случае применяется формула сложных процентов:

Если изменение происходит на разное число процентов, то формула такова: Если изменение происходит на разное число процентов, то формула такова:

Распродажа, тарифы, штрафы. 1. Зонт стоил 360 р. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре еще на 10%. Какой стала стоимость зонта в декабре? 1. Зонт стоил 360 р. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре еще на 10%. Какой стала стоимость зонта в декабре? Ответ: 275 р.40 к. Ответ: 275 р.40 к. 2. Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 250 р. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату за неделю? 2. Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 250 р. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату за неделю? Ответ: 320 р. Ответ: 320 р.

Банковские операции Простые проценты. Увеличение вклада Простые проценты. Увеличение вклада

Сложные проценты

Примеры. 1. Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8% годовых от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере р. Какая сумма будет на его счете через 5 лет, через 10 лет? 1. Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8% годовых от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере р. Какая сумма будет на его счете через 5 лет, через 10 лет? Ответ: р, р. Ответ: р, р. 2. При какой процентной ставке вклад на сумму 500 р возрастет за 6 месяцев до 650 рублей? 2. При какой процентной ставке вклад на сумму 500 р возрастет за 6 месяцев до 650 рублей? Ответ: 5% Ответ: 5% 3. Каким должен быть начальный вклад, чтобы при ставке 4% в месяц он увеличился за 8 месяцев до р.? 3. Каким должен быть начальный вклад, чтобы при ставке 4% в месяц он увеличился за 8 месяцев до р.? Ответ: р. Ответ: р. 4. Вкладчик открыл в банке счет, внеся 2000 р.на вклад, годовой доход которого составляет 12%, и решил в течение 6 лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на его счете через 6 лет? 4. Вкладчик открыл в банке счет, внеся 2000 р.на вклад, годовой доход которого составляет 12%, и решил в течение 6 лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на его счете через 6 лет? Ответ: 3947 р.65 к. Ответ: 3947 р.65 к.

Задачи на смеси, растворы, сплавы. 1. Сколько граммов воды надо добавить к 50 г раствора, содержащего 8% соли, чтобы получить 5% раствор? 1. Сколько граммов воды надо добавить к 50 г раствора, содержащего 8% соли, чтобы получить 5% раствор? Ответ: 30 г Ответ: 30 г 2. Сколько граммов 30% -го раствора надо добавить к 80 г 12%-го раствора этой же соли, чтобы получить 20%-й раствор соли? 2. Сколько граммов 30% -го раствора надо добавить к 80 г 12%-го раствора этой же соли, чтобы получить 20%-й раствор соли? Ответ: 64 г. Ответ: 64 г. 3. Если смешать 8 кг и 2 кг растворов серной кислоты разной концентрации, то получим 12%-й раствор кислоты. При смешивании двух одинаковых масс тех же растворов получим 15%-й раствор. Определите первоначальную концентрацию каждого раствора. 3. Если смешать 8 кг и 2 кг растворов серной кислоты разной концентрации, то получим 12%-й раствор кислоты. При смешивании двух одинаковых масс тех же растворов получим 15%-й раствор. Определите первоначальную концентрацию каждого раствора. Ответ:10%-й и 20%-й растворы. Ответ:10%-й и 20%-й растворы. 4. Имеется два куска сплава олова и свинца, содержащие 60% и 40% олова. По сколько граммов от каждого куска надо взять, чтобы получить 600 г сплава, содержащего 45% олова? 4. Имеется два куска сплава олова и свинца, содержащие 60% и 40% олова. По сколько граммов от каждого куска надо взять, чтобы получить 600 г сплава, содержащего 45% олова? Ответ: 150 г, 450 г Ответ: 150 г, 450 г

Литература для учителя 1. Барабанов О.О. Задачи на проценты как проблемы словоупотребления//Математика в школе, – стр Барабанов О.О. Задачи на проценты как проблемы словоупотребления//Математика в школе, – стр Водинчар М.И., Лайкова Г.А., Рябова Ю.К. Решение задач на смеси, растворы и сплавы методом уравнений //Математика в школе – 2001, 4 2. Водинчар М.И., Лайкова Г.А., Рябова Ю.К. Решение задач на смеси, растворы и сплавы методом уравнений //Математика в школе – 2001, 4 3. Дорофеев Г.В., Седова Е.А. Процентные вычисления классы: учеб.-метод. Пособие. –М.:Дрофа, Дорофеев Г.В., Седова Е.А. Процентные вычисления классы: учеб.-метод. Пособие. –М.:Дрофа, 2003

Особенности работы с заданиями первой части Первая часть направлена на проверку овладения содержанием курса на уровне базовой подготовки (обеспечивает получение тройки ). Ограниченное время и много задач. Решений задач первой части предъявлять не нужно,поэтому не надо оформлять решение подробно. Непривычные формулировки ряда задач. Типичные ошибки: Невнимательное чтение условия. Арифметические ошибки. Элементарная невнимательность при переносе ответа в бланк..

Методические рекомендации по подготовке к ГИА-9 по математике Как строить систему подготовки? Наиболее эффективно выстраивать подготовку по тематическому принципу. Не следует стараться решить как можно больше вариантов заданий предыдущих лет. (варианты не повторяются,не формируется устойчивый общий способ деятельности) Разумно проверочное диагностическое тестирование по определенной теме. Подход к комплексному тестированию только в конце года (апрель- май), когда все темы изучены и у учеников накоплен запас общих подходов к основным типам заданий. тренировочные тесты следует проводить в режиме «теста скорости», т.е. с жестким ограничением времени. Принцип дифференциации. (Необходимо осуществлять одинаковую нагрузку как по содержанию, так и по времени, для всех школьников (сильных и слабых) в равной мере. )

Работа в школе с малой численностью обучающихся, в классе- комплекте заставляет: 1. осуществлять личностно-ориентированный подход процесса обучения через принципы: а) индивидуальности; б)доверия и поддержки; в)творчества и успеха. 2.использоватьметоды: а) диагностические (письменного и устного контроля ) ; б) педагогической поддержки; в) создания ситуации выбора и успеха 3. использовать наиболее рациональные способы работы.

Рекомендации по организации работы 1. Начинать подготовку с 7 класса, используя возможности промежуточной аттестации; 2. В начале 9 класса провести вводный контроль через диагностическую работу. 3. Сделать качественный анализ допущенных ошибок и индивидуальный план работы над их ликвидацией; 4. Проводить групповые тематические консультации по выделенным учебным разделам. 5. Осуществлять контроль через зачёты и тестирование. 6. При повторении ошибок,снова дополнительные занятия и текущий контроль 7. Обучаемые ведут папки подготовки к ГИА(алгоритмы решений,тесты и результаты тематических зачётов После проведённых тренировочных и диагностических работ осуществлять работу по предложенному варианту; В работе использую домашние конрольные работы и тестирование При выполнении работ учить конролю по времени выполнения; Начиняя с января желательно проводить работы с заполнением бланков; В 4 четверти при организации повторения проводить зачёты с со строгим указанием выполнения задания,как на уроке,так и дома ; У кого есть Интернет, выполняют задания в режим ONLAIN,в школе такие занятия 1 раз в месяц.