К ВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Муниципальное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 2 Автор разработки Чумичева И.Б., учитель математики

Цель: образовательные: углубить знания по теме «Квадратные уравнения»,вывести и доказать формулы корней квадратного уравнения, сформулировать умения применять формулы в решении задач; образовательные: углубить знания по теме «Квадратные уравнения»,вывести и доказать формулы корней квадратного уравнения, сформулировать умения применять формулы в решении задач; развивающие: развивать умения в нахождении корней квадратного уравнения, абстрагировать и обобщать, развивать навыки самоконтроля; развивающие: развивать умения в нахождении корней квадратного уравнения, абстрагировать и обобщать, развивать навыки самоконтроля; воспитательные: воспитывать волю и настойчивость для решения поставленной задачи воспитательные: воспитывать волю и настойчивость для решения поставленной задачи

1.Квадратные уравнения. Определение, примеры. 2.Неполные квадратные уравнения. 3.Метод выделения полного квадрата. Вывод формулы корней квадратных уравнений. Решение квадратных уравнений. 4.Приведённое квадратное уравнение. 5.Теорема Виета. 6.Теорема, обратная теореме Виета. 7.Разложение квадратного трёхчлена на множители7.Разложение квадратного трёхчлена на множители. 8.Уравнения сводящиеся к квадратным. 9.Занимательные задачи. 10.Список используемого материала.

Квадратным уравнением называется уравнение ax 2 +bx+c=0, где a,b,c- заданные числа, a0. x- неизвестное, a- первый или старший коэффициент, b- второй коэффициент, с- свободный член. Например: х 2 +7x-24=0 4x 2 -x+5=0 2x 2 +6x=x 2 +3x+9 На главную Квадратное уравнение. Далее

уравнение x 2 =d, где d>0, имеет два корня: x 1 =d x 2 = -d На главную Назад Проверь себя 1 Доказательство Пример: решите уравнение x 2 =25. Решение: x 2 =25 х 1,2 =±25 x 1 = 5 x 2 = - 5 Ответ: х 1 =5, х 2 = - 5

Неполные квадратные уравнения. квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0 называют неполным, если хотя бы один из коэффициентов b или c равен 0. ax 2 =0, (b=c=0) ax 2 +c=0, (b=0) а0 ax 2 +b=0, (c=0). На пример: 3х 2 =0 х 2 -6х=0 9х 2 -81=0 (х 2 -9)/(х-3)=0 На главную

Метод выделения полного квадрата. ax 2 +bx+c=0, a 0, /а На главную Далее аx 2 +bx a +c =0 bx a = -c a x2+x2+ 2bx 2a + b2b2 (2a ) 2 = -с a х2+х2+ ( b 2a b 2 -4аc = 4a 2 x+ ) 2 b2b2 (2a ) 2 +

Если b 2 -4ac 0, то: b 2 -4ac=D - дискриминант - мы вывели формулу корней квадратного уравнения. b 2a = (b 2 -4ac) (2a) 2 ( x+ 2 ) 2 b 2a = ±x+ b 2 -4ac 2a x 1, 2 =- b 2a b 2 -4ac 2a ± Далее

Пример: решите квадратное уравнение x 2 +2x-3=0 методом выделения полного квадрата. Решение: x 2 +2x-3=0 x 2 +2x=3 x 2 +2x+1=3+1 (x+1) 2 =4, из этого следует : x+1=2, или x+1=-2, x 1 =1 x 2 = - 3 Ответ: х 1 =1, х 2 = - 3 На главную

Формула квадратного уравнения. если b 2 -4ac0, то уравнение ax 2 +bx+c=0 имеет два действительных корня, если b 2 -4ac=0, то уравнение ax 2 +bx+c=0 имеет два равных корня (x 1 =x 2 ) На главную Кое-что интересное -b±D Х 1,2 = 2а Проверь себя 2

аx 2 +bx+c=0,если b-чётное число, аx 2 +bx+c=0,если b-чётное число, b=2m, a0, m 2 -ac0 b=2m, a0, m 2 -ac0 На главную -mm 2 -ac х 1,2 = а то Доказательство

x 2 +px+q=0 – приведённое квадратное уравнение, (ax 2 +bx+c=0, где a=1) (ax 2 +bx+c=0, где a=1) Любое квадратное уравнение аx 2 +bx+c=0 может быть приведённым, если разделить Любое квадратное уравнение аx 2 +bx+c=0 может быть приведённым, если разделить обе части на а, а0 обе части на а, а0 или или На главную -p±(p 2 -4q) х 1,2 = 2 ±(p/2) 2 -q) х 1,2 = 2 - p

Теорема Виета. Если x 1 и x 2 - корни уравнения x 2 +px+q=0,то справедливы формулы : x 1 +x 2 =-p x 1 x 2 =q т.е. сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. На главную Доказательство Далее

Пример : один из корней уравнения x 2 -14x-15=0 положителен. Не решая уравнения, определить знак второго корня. Решение: По теореме Виета: x 1 x 2 = ( по условию ),тогда x 2

Теорема, обратная теореме Виета. Если числа p, q,х 1, x 2 – таковы, что x 1 +x 2 =-p, x 1 x 2 =q, то x 1 и x 2 - корни уравнения x 2 +px+q=0. На главную Проверь себя 3 Доказательство: х 2 +px+q=0 х 1 +x 2 =-p, x 2 x 1 =q х 2 -x(x 1 +x 2 )+x 1 x 2 =x 2 -xx 1 -xx 2 +x 1 x 2 =x(x-x 1 )-x 2 (x-x 1 )=(x-x 1 )(x-x 2 ), т.е. х 2 +px+q=(x-x 1 )(x-x 2 )

Многочлен ax 2 +bx+c=0, где а 0, называют квадратным трёхчленом. Его можно разложить на множители способом группировки. Теорема: если x 1 и x 2 - корни квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0, то при всех x справедливо равенство: ax 2 +bx+c=a(x-x 1 )(x-x 2 ) На главную Доказательство Далее

аx 2 +bx+c=a(x-x 1 ) 2, если D=0 аx 2 +bx+c=a(x-x 1 )(x-x 2 ), если D>0 Теорема: если квадратное уравнение ах 2 +bx+c=0 имеет корни х 1 и х 2, то справедливо тождество ax 2 +bx+c=а(х-х 1 )(х-х 2 ). В случае, когда уравнение имеет лишь один корень х 1, справедливо тождество ax 2 +bx+c=a(x-x 1 ) 2. Если уравнение не имеет корней, то квадратный трёхчлен ax 2 +bx+с не разлагается на множители. На главную Проверь себя 4

Уравнения, сводящиеся к квадратным. Уравнение ax 4 +bx 2 +c=0, где а0, называют биквадратным. Решите биквадратное уравнение: 9х 4 +5х 2 -4=0. Решение: пусть х 2 =t, тогда x 4 =t 2, отсюда: 9t 2 +5t-4=0 D=25+4×4×9=169 t 1 =-1, t 2 =8/18=4/9 x 2 = -1- не может быть x 2 =4/9 из этого следует x 1,2 =±2/3 Ответ: х 1,2 = ± 2/3 На главную t 1,2 = -b± D 2a t 1,2 =- -5±13 2×9 t 1,2 =- 5±13 18

Решите уравнение:, О.Д.З.:х -2, х 3 Решение :, |× (х+2)(х-3), получим: 3(х-3)-4(х+2)=3(х+2)(х-3) 3х-9-4х-8=3х 2 +6х-9х-18 -х-17=3х 2 -3х-18 3х 2 +х х=0 3х 2 -2х-1=0 х 1 =1 х 2 =-1/3 Ответ: х 1 =-1/3 и х 2 =1 На главную 3 х+2 – 4 х-3 = 3 3 х+2 – 4 х-3 = 3 х 1,2 = 1±21±2 3 1±1+3 3

Решите уравнение: О.Д.З.:х1 и х2 Решение: умножим данное уравнение на (х-1)(х-2) 1+3(х-2)=(3-х)(х-1) 1+3х-6=3х-3-х 2 +х 1-6-х+х 2 +3=0 х 2 -х-2=0 х 1,2 =1/2±3/2 х 1 =2 х 2 =-1 х 1 =2-не подходит по О.Д.З. Ответ : х=-1. Корень х=2 - посторонний. При решении уравнения, содержащего неизвестное в знаменателе дроби, необходима проверка. На главную 1 (х-1)(х-2) + 3 х-1 = 3-х х-2 х 1,2 = 1 2 ±

Решите уравнение: Решение: х 2 +7х+12=0 х 1,2 =-7/2±1/2 х 1 =-4 и х 2 =-3, х 2 +7х+12=(х+4)(х+3), |×(х+4)(х+3) О.Д.З.:х -4, х -3;получим: (х+7)(х+3)-(х+4)+1=0 х 2 +7х+21+3х-х-4+1=0 х 2 +9х+18=0 х 1,2 =-9/2±3/2 х 1 = -6 х 2 =-3 – не подходит по О.Д.З. Ответ: х = -6 На главную х+7 х х+3 + х 2 +7х+12 1 =0х 1,2 = ± х+7 х х+3 + х 2 +7х+12 1 =0х 1,2 = ±

На главную 1.Стая обезьян. 2.Ряд чисел. 3.Пчелиный рой. 4.Какие числа? 5.Интересное о дискриминанте. 6.Квадратное уравнение. 7.Теорема Виета.

На две партии разбившись, Забавлялись обезьяны. Часть восьмая их в квадрате В роще весело резвилась; Криком радостным двенадцать Воздух свежий оглашали. Вместе сколько, ты мне скажешь, Обезьян там было в роще? Решение

Решение: решим эту задачу с помощью уравнения. Пусть х обезьян было в роще, тогда по условию (х/8) 2 +12=х. Решим это уравнение (х/8) 2 +12=0 1/64х 2 -х+12=0, умножим это уравнение на 64 и получим: х 2 -64х+768=0 х 1,2 =32± х 1,2 =32± 256 х 1 =32+16=48 х 2 =32-16=16 Ответ: в роще было 16 или 48 обезьян. Назад

Задание: Записать ряд из пяти последовательных чисел, сумма квадратов первых трёх из которых равна сумме квадратов двух последних. Решение: Пусть х – первое число, тогда : х 2 +(х+1) 2 +(х+2) 2 =(х+3) 2 +(х+4) 2 х 2 +х 2 +2х+1+х 2 +4х+4=х 2 +6х+9+х 2 +8х+16 х – 9 –8х – 16=0 х 2 – 8х – 20=0 х 1,2 =4± х 1 =4+6=10 х 2 =4–6 Ответ: существует два ряда чисел, обладающих требуемым свойством : 1 ряд : 10;11;12;13;14. 2 ряд : - 2; - 1;0;1;2. Назад

Пчёлы в числе, равном квадратному корню из половины всего их роя, сели на куст жасмина, оставив позади себя 8/9 роя. И только одна пчёлка из того же роя кружится возле лотоса, привлечённая жужжанием подруги, неосторожно попавшей в западню сладко пахнущего цветка. Сколько всего было пчёл в рое? Решение

Решение: Пусть всего пчёл было х, тогда : Решим это уравнение: х/2=у, х=2у 2 у+ +2=2у2 – | × 9; 9у+16у у 2 =0 9у-2у 2 +18=0 – | × (-1) 2у 2 -9у-18=0 D=81+4×2×18=81+144=225 у 1,2 = у 1 =-6/4 у 2 =6 х 1 =2(-6/4) 2 =2(-3/2) 2 =2×9/4=4,5, но число пчёл – натуральное, следовательно 4,5 – не подходит. х 2 =2×6 2 =2×36=72 Ответ: всего было 72 пчёл в рое. Назад х 2 + 8х 9 +2=х 2х8ху2 9 9±15 4

Задание: найти три последовательных числа, отличающихся тем свойством, что квадрат среднего на 1 больше произведения двух остальных. Решение: (х-1) и х и (х+1) х 2 - (х-1)(х+1)=1 х 2 -х 2 +1=1 Ответ : можно взять любы последовательные числа. Назад

Если вам скажут : Квадратное уравнение, дискриминант которого меньше нуля, не имеет решения, можете уточнить : Не имеет решения в действительных числах, в комплексных же имеет целых два. Пример: х 2 –2х+5=0 х 1,2 =1± ( 1-5 ) х 1,2 =1± ( - 4 ) х 1 =1+2i x 2 =1– 2i Ответ: х 1 =1+2i x 2 =1–2i Занимательные задачи Формула уравнения

Задание: в уравнении 4х 2 –15х+4m 2 =0, найти m так, чтобы один корень был квадратом другого. Решение: х 1 =х 2 2 (4m 2 )/4=х × х 2, значит m 2 =x 3, m=± (x 3 )=±x ( x). х+х 2 =15/4 х =(15–4х 2 )/4 4х=15–4х 2 4х 2 +4х–15=0 х 1,2 =(–2± 4+4 × 15 )/4 х 1,2 =(-2±8)/4 х 1 =-10/4 – не натуральное число под корнем. х 2 =6/4=3/2 m=±3/2 (3/2) Ответ: m=±3/2 ( 3/2) Назад

Задание: найти сумму квадратов корней уравнения ax 2 +bx+c=0, не находя его корней. Решение: x 1 +х 2 =- b/x x 1 × x 2 =c/a x 2 +bx/a+c/a=0 x 1 2 +x 2 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -2x 1 x 2 =(-b/a) 2 -2c/a=b 2 /a 2 -2c/a=(b 2 -2ac)/a 2 Ответ:х 1 2 +х 2 2 =(b 2 -2ас)/а 2 Назад

Проверь себя 1. 1.Как будет выглядеть квадратное уравнение, если известны его коэффициенты а=2, b=7, с=-1 ? 1)2х 2 +7х+1=0 2)2х 2 +7х – 1=0 3)7х 2 +2х – 1 =0 1)2х 2 +7х+1=0 2)2х 2 +7х – 1=0 3)7х 2 +2х – 1 =0 2.Найдите корни уравнения х 2 =289. Какой из них является арифметическим? 1)х=17, это арифметический корень 2)х= -17, это арифметический корень 3)х 1 =17, это арифметический корень ; х 2 =-17 1)х=17, это арифметический корень 2)х= -17, это арифметический корень 3)х 1 =17, это арифметический корень ; х 2 =-17 3.Решите уравнение х 2 = – 16 1)х 1,2 =±4 2)х= –4 3) нет действительных корней 1)х 1,2 =±4 2)х= –4 3) нет действительных корней Назад

Проверь себя 2. 1.Чему равен дискриминант уравнения 2х 2 +3х+1=0 1)D=9 2)D=17 3)D=1 1)D=9 2)D=17 3)D=1 2.Не решая уравнения 4х 2 – 7х –2=0, скажите, сколько корней оно имеет ? 1)данное уравнение имеет один корень 2)данное уравнение имеет два действительных корня 3)данное уравнение не имеет действительных корней 1)данное уравнение имеет один корень 2)данное уравнение имеет два действительных корня 3)данное уравнение не имеет действительных корней 3.Продолжите фразу :» Если дискриминант меньше нуля, то …» 1)уравнение не имеет решения 2)уравнение не имеет действительных корней 3)уравнение имеет два равных корня 1)уравнение не имеет решения 2)уравнение не имеет действительных корней 3)уравнение имеет два равных корня Назад

Проверь себя 3. 1.Один из корней уравнения х 2 –15х +14=0 равен 1.Чему равен второй корень ? 1) 14 2) 15 3) –151415–15 2.Не решая уравнения х 2 +2х – 80=0, найдите сумму и произведение его корней. 1)х 1 +х 2 = – 80 ; х 1 х 2 =2 2)х 1 +х 2 = – 2 ; х 1 х 2 = – 80 3)х 1 +х 2 = 80 ; х 1 х 2 =2 1)х 1 +х 2 = – 80 ; х 1 х 2 =2 2)х 1 +х 2 = – 2 ; х 1 х 2 = – 80 3)х 1 +х 2 = 80 ; х 1 х 2 =2 3.Как будет выглядеть приведённое квадратное уравнение, если известны его корни : х 1 =5, х 2 =2 ? 1)х 2 –7х +10=0 2)х 2 +10х +7=0 3)х 2 –7х –10=0 1)х 2 –7х +10=0 2)х 2 +10х +7=0 3)х 2 –7х –10=0 Назад

Проверь себя 4. 1.Если 2х 2 +х-3=2(х-1)(х+3/2),то какие корни будет иметь уравнение 2х 2 +х-3=0 ? 1)х 1 =-1,х 2 =-3/2 2)х 1 =-1,х 2 =3/2 3)х 1 =1,х 2 =-3/2 4)х 1 =1,х 2 =3/2 1)х 1 =-1,х 2 =-3/2 2)х 1 =-1,х 2 =3/2 3)х 1 =1,х 2 =-3/2 4)х 1 =1,х 2 =3/2 2.Разложите на множители квадратный трёхчлен х х+26, если решением уравнения х х+26 =0 являются корни х 1 =13, х 2 =2 1)(х+13)(х+2) 2)(х-13)(х+2) 3)(х-13)(х-2) 4)(х+13)(х-2) 1)(х+13)(х+2) 2)(х-13)(х+2) 3)(х-13)(х-2) 4)(х+13)(х-2) Назад

ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ Проверь себя 1

ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ Проверь себя 2

ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ Проверь себя 3

ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ Проверь себя 4

НЕПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ Проверь себя 1

НЕПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ Проверь себя 2

НЕПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ Проверь себя 3

НЕПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ Проверь себя 4

Доказательство: ax 2 +bx+c=0 ax 2 +bx+c=0 ax 2 +2mx+c=0 ax 2 +2mx+c=0 D=4m 2 -4ac=4(m 2 -ac) D=4m 2 -4ac=4(m 2 -ac) -mm 2 -ac х 1,2 = -2m±4(m 2 -ac) х 1,2 = 2а -2m±2(m 2 -ac) х 1,2 = 2а а Назад

Доказательство: х 1 = -p/2 + (p/2) 2 -q + х 2 = -p/2 - (p/2) 2 -q х 1 +x 2 =-2p/2=-p, x 1 +x 2 =-p х 1 x 2 =(-p/2) 2 =((p/2) 2 -q) 2 =(p/2)-(p/2) 2 +q 2 =q, x 1 x 2 =q Назад

Доказательство: Пр. часть a(x-x 1 )(x-x 2 )=ax 2 -axx 2 -axx 1 +ax 1 x 2 =ax 2 -а(х 1 +х 2 )х+ах 1 х 2 х 1 и x 2 – корни уравнения ax 2 +bx+c=0, т.е. уравнения x 2 +bx/a+c/а=0,то по теореме Виета x 1 +x 2 =-b/а, x 1 x 2 =c/а из этого следует: ax 2 -a(-b/a)x+ac/а=ах 2 +bx+c, что и требовалось доказать. Назад

Доказательство: х 2 =d, d>0 х 2 - d=0 d=(d) 2 x 2 – (d ) 2 =0 (x - d)(x +d)=0 x 1 =d x 2 =-d,что и требовалось доказать. Назад

Список используемого материала: 1. Алгебра 8 класс Виленкин Н.Я. Москва Просвещение 2001год 2. Алгебра 8 класс Алимов Ш.А. Москва Просвещение 1994 год 3.Энциклопедия для детей Математика том 11 Москва Аванта год 4.Сборник задач московских математических олимпиад Г.И.Зубелевич 5. – картинки 6. Информатика в видеосюжетах Л.Ф.Соловьёва Санкт-Петербург БХВ-Петербург 2002 год На главную