«Определение производной» Учебное пособие по дисциплине «Элементы высшей математики»

Определим скорость изменения функции y=f(x) на промежутке [x 0,х 0 +х] по аналогии с уже решёнными выше задачами.

Пусть в точке х 0 значении функции будет y=f(x 0 ). В точке х 0 +х оно станет равным y+y=f(x 0 +x),причём y=(y+y)-y=f(x 0 +x)-f(x 0 ) Тогда отношение Будет задавать среднюю скорость изменения функции на промежутке

Определение 1. Производной функции y=f(x 0 ) в точке х 0 называется предел отношения приращения у функции в точке х 0 к приращению х аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

Определение 2. Функция y=f(x) имеет производную в интервале (а,b), если она имеет производную в каждой точке данного интервала.

Нахождением производной f от данной функции f называется дифференцированием. Функция, имеющая производную в интервале (а,b),называется дифференцируемой в этом интервале.

Из определения 1 следует правило нахождения производной функции y=f(x) в точке, которое состоит в последовательном выполнении следующих четырёх операций. Находим значение функции в точке : Находим приращение функции: Находим отношение приращения функции к приращению аргумента: Находим предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:

Литература