Сложение и умножение неравенств. Строгие и нестрогие неравенства Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.

Задача 1. Турист прошёл в первый день более 20 км, а во второй более 25 км, значит, можно утверждать, что за два дня турист прошёл более 45 км. Задача 2. Длина прямоугольника меньше 13 см, а ширина меньше 5 см, значит, можно утверждать, что площадь этого прямоугольника меньше 65 см² При решении различных задач часто приходится складывать или умножать неравенства, т. е. складывать или умножать отдельно левые и правые части неравенств.

При рассмотрении этих примеров надо применять следующие теоремы о сложении и умножении неравенств: Теорема 1. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то а + с > b + d Примеры: 3 > 2,5 5 > 4 1,2 < 1,3 3 < > 6,5 1,8 < 0,7

Теорема 2. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака: а > b, c > d и а, b, c, d положительные числа, тогда а с > b d. Примеры: 3,2 > 3,1 3 > 2 9,6 > 6,2 1,8 < 2,1 4 < 5 7,2 < 10,5 Задача 1. Доказать, что если а, b положительные числа, и а > b, то а² > b². а > b а² > b²

Аналогично, если а, b положительные числа, а > b и n натуральное, то Например, из неравенства 5 > 3 следует неравенство 5³ > 3³. Блиц-опрос. Сложить почленное неравенства: 1) 12 > 2,5 и 1 > 313 > 0,5 2) 5 < 8 и 9 < 2 4 < 10 3) 8< 3 и 2 < 6 10 < 3 4) 4 > 2 и 0 > 5 4 > 7

Блиц-опрос.Выполнить умножение неравенств: 1) 12 > 2,5 и 8 > 396 > 7,5 2) 5 < 8 и 9 < 10 45< 80 3) 8< 3 и 2 < 6 Умножение невозможно 4) 4 > 2 и 30 >5120 > 10 5) 14 > 3 и 0 > 5Умножение невозможно 6) а > 3 и b > 5a b > 15 7) а > 4 и b > 6 Умножение невозможно

Задача 1. Доказать, что если а > 4, b > 2, то 2 а b + 8 > 24. Решение. а > 4, b > 2, а b ______, 2 а b________, 2 а b + 8 ________. > 8> 16 > 24 Задача 2. Одна из сторон прямоугольника а больше 2, но меньше 5 ед.; другая сторона b больше 3, но меньше 10 ед. Каким числом квадратных единиц может быть площадь S этого прямоугольника? Решение. По условию 2 < а < 5 и ____ < b < ____. Выполним умножение неравенств (по условию задачи а, bположительные числа), получим: ___ < а b < ___, но а b площадь прямоугольника, поэтому ___ < S < ____

Неравенства со знаками > (больше) и < (меньше) называют строгими. Например, 19 > 0,23, 0,54 с строгие неравенства. Наряду со знаками строгих неравенств > и < используют знаки (больше или равно) и (меньше или равно), которые называют знаками нестрогих неравенств. Неравенства со знаками или называют нестрогими. Например, 25 1,2, а 0, а с нестрогие неравенства.

Неравенство a b означает, что a > b или a = b, т. е а не меньше b. Точно так же неравенство a b означает, что a < b или a = b, т. е а не больше b. Все известные свойства строгих неравенств справедливы и для нестрогих неравенств. При этом знаки противоположные, знаки и противоположные.

С помощью знаков неравенства записать следующие утверждения: положительное число __________ отрицательное число __________ неотрицательное число __________ неположительное число __________ положительное число __________ отрицательное число __________

Найти наибольшее целое n, удовлетворяющее неравенству: Блиц-опрос.

Найти наименьшее целое n, удовлетворяющее неравенству: Блиц-опрос.

Записать условие задачи с помощью неравенств. 1)Рост Антона (h cm) не превышает роста Коли, равного 165 см, но больше роста Маши, равного 147 см. 2) Число дней в году (m) не меньше 365 и не больше ) Чайник «Тефаль» (модель 208) вмещает ( а л) не больше 1,7 л воды. 147____h_____ ____m_____165. а _____1,7.

Блиц-опрос. Записать условие задачи с помощью неравенства: 1) Сумма чисел х и 3 меньше 1 _________ 2) Разность чисел х и 8 больше 19 ________ 3) Произведение чисел 10 и х не больше 15 ________ 4) Утроенная сумма чисел х и 7 не больше числа 15 _________________

Блиц-опрос. Назвать значения х, при которых верно неравенство: