Готовимся к ЕГЭ. Задача С2. Расстояние от точки до прямой. МБОУ г. Мурманска гимназия 3 Шахова Татьяна Александровна

Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую. Поэтапно вычислительный метод. Пример Расстояние от точки M до прямой AB, обозначаемое ρ( AB;M), вычисляют, как длину высоты, опущенной из точки M на основание AB (или ее продолжение) треугольника ABM. М А В ρ М А В ρ Пример

М Метод параллельных прямых. Расстояние от точки M до прямой a равно расстоянию до прямой a от произвольной точки P, лежащей на прямой b, проходящей через точку M и параллельной прямой a. а Р ρ Пример ρ b

Координатный метод. 1)Ввести удобную систему координат. 2)Вычислить координаты точек А и В. 3)Найти длину отрезка АВ по формуле Как вычислить координаты внутренней точки С отрезка АВ, если АС:СВ=k? Назад Пример ta-shah.ucoz.ru/load/egeh/egeh_s2/koordinatnyj_metod_kljuchevye_zadachi/

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на диагоналях граней AD 1 и D 1 B 1 взяты точки E и F так, что D 1 E=1/3AD 1, D 1 F=2/3D 1 B 1. Найдите расстояние от точки D 1 до прямой EF. А С D D1D1 В1В1 F В Решение: Угол FD 1 E=60 0, так как является углом равностороннего треугольника B 1 D 1 A. (диагональ единичного квадрата). А1А1 С E Д. п. Отрезок D 1 H является высотой треугольника D 1 EF. H

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на диагоналях граней AD 1 и D 1 B 1 взяты точки E и F так, что D 1 E=1/3AD 1, D 1 F=2/3D 1 B 1. Найдите расстояние между точками Е и F. А С С D D1D1 А1А1 В1В1 F В E Решение: F E D1D1 Воспользуемся теоремой косинусов H

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на диагоналях граней AD 1 и D 1 B 1 взяты точки E и F так, что D 1 E=1/3AD 1, D 1 F=2/3D 1 B 1. Найдите расстояние между точками Е и F. Решение: F E D1D1 Высоту можно найти методом площадей. Ответ: Назад H

Решение: В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой ВС 1. А С D D1D1 В1В1 В А1А1 С E F1F1 F Отрезок АС 1 является гипотенузой треугольника АС 1 С. В А С Найдем АС из треугольника АВС Найдем АС 1 из треугольника АС 1 С E H (диагональ единичного квадрата). Д. п.

Решение: В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой ВС 1. А С D D1D1 В1В1 В А1А1 С E F1F1 F Из треугольника АС 1 В найдем cosС 1. Найдем АН из треугольника АС 1 Н E H Ответ: Назад

Решение: А D В С S О К ОК – средняя линия треугольника ASC => ОК || SC Д. п. Н Е (из подобия треугольников ASC и АКО) АН найдем методом площадей (диагональ квадрата со стороной 6) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, К - середина ребра SA, О – центр основания. Ребра основания равны 6, а боковые ребра равны 8. Найдите расстояние от точки С до прямой ОК.

Решение: В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, К - середина ребра SA, О – центр основания. Ребра основания равны 6, а боковые ребра равны 8. Найдите расстояние от точки С до прямой ОК. А D В С S О К Н Е Ответ: Назад

X Введем прямоугольную систему координат Z Y С А С D D1D1 В1В1 Р В Решение: А1А1 В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти расстояние от точки А до прямой PQ, где Р и Q – середины соответственно ребер А 1 В 1 и ВС. Q Тогда: Найдем стороны треугольника APQ по формуле Н Д. п.

Н С Z Y X А С D D1D1 В1В1 Р В Решение: А1А1 В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти расстояние от точки А до прямой PQ, где Р и Q – середины соответственно ребер А 1 В 1 и ВС. Q (треугольник APQ равнобедренный) Из треугольника APН Ответ: Назад

)В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой ВС 1. Тренировочные упражнения Решение 3) Основание прямой призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - ромб АВСD, в котором АВ =10, АС =. Боковое ребро АА 1 =. Найдите расстояние от вершины В до прямой АС 1. Решение 2) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой а) DE, б) D 1 E 1, в) B 1 C 1, г) BE 1, д) ВС 1.

Тренировочные упражнения Решение 4) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 4. Точка M – середина SD. Найдите расстояние от точки A до прямой MB. Решение 5) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны оснований которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки C до прямой SA.

Решение: А С В1В1 В А1А1 С Н 1)В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой ВС 1. Д. п. (диагональ единичного квадрата). В А С Н Из треугольника AНС 1 Задачи Ответ:

Решение: А С D D1D1 В1В1 В А1А1 С E F1F1 F а) F А E Найдем АЕ из треугольника АFE Ответ: а). E Задачи 2) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой а) DE, б) D 1 E 1, в) B 1 C 1, г) BE 1, д) ВС 1.

Решение: А С D D1D1 В1В1 В А1А1 С E F1F1 F б) Найдем АЕ 1 из треугольника АА 1 E 1 Ответ: б). E 2) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой а) DE, б) D 1 E 1, в) B 1 C 1, г) BE 1, д) ВС 1. (см. задачу а)) Задачи

Решение: А1А1 С D1D1 D В В1В1 А С1С1 E F F1F1 в) Из треугольника АНС 1 E1E1 2) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой а) DE, б) D 1 E 1, в) B 1 C 1, г) BE 1, д) ВС 1. Н Д. п. (диагональ единичного квадрата (см. задачу б)) А В1В1 С1С1 Ответ: Задачи

Решение: А С D D1D1 В1В1 В А1А1 С E F1F1 F г) E Задачи 2) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой а) DE, б) D 1 E 1, в) B 1 C 1, г) BE 1, д) ВС 1. Н Д. п. (см. задачу б)) (большая диагональ правильного шестиугольника) Из треугольника ВЕЕ 1

Решение: А С D D1D1 В1В1 В А1А1 С E F1F1 F г) E Задачи 2) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой а) DE, б) D 1 E 1, в) B 1 C 1, г) BE 1, д) ВС 1. Н В треугольнике АВЕ 1 найдем высоту АН методом площадей. А E В Н Ответ:

Решение: А С D D1D1 В1В1 В А1А1 С E F1F1 F д) Найдем ВО 1 из треугольника ОО 1 В E 2) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой а) DE, б) D 1 E 1, в) B 1 C 1, г) BE 1, д) ВС 1,. (диагональ единичного квадрата Н О1О1 О Д. п.О и О 1 – центры оснований || Д. п. Задачи

А D D1D1 В1В1 А1А1 С E F1F1 F E О Решение: С В д) 2) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой а) DE, б) D 1 E 1, в) B 1 C 1, г) BE 1, д) ВС 1,. Н О1О1 Найдем высоту О 1 Н треугольника ВО 1 С 1 Из треугольника О 1 С 1 Н Ответ: Задачи

А С D D1D1 В1В1 Е В Решение: А1А1 С ВС 1 – диагональ прямоугольника со сторонами 10 и Из треугольника АС 1 С 3) Основание прямой призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - ромб АВСD, в котором АВ =10, АС =. Боковое ребро АА 1 =. Найдите расстояние от вершины В до прямой АС 1. Н Д. п. АС 1 найдем методом площадей Задачи

А С D D1D1 В1В1 Е В Решение: А1А1 С 3) Основание прямой призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - ромб АВСD, в котором АВ =10, АС =. Боковое ребро АА 1 =. Найдите расстояние от вершины В до прямой АС 1. Н Ответ: Задачи

Решение: А D В С S Z X Y Введем прямоугольную систему координат Тогда: xSxS ySyS X Y С ВА D O O xSxS ySyS ? ? 4) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 4. Точка M – середина SD. Найдите расстояние от точки A до прямой MB. М Из треугольника DOS: (половина диагонали квадрата со стороной 2) Н Задачи Д. п.

Решение: А D В С S Z X Y 4) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 4. Точка M – середина SD. Найдите расстояние от точки A до прямой MB. М Найдем координаты точки М (середины отрезка DS) Найдем длину отрезка АМ по формуле Н Задачи

Решение: А D В С S Z X Y 4) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 4. Точка M – середина SD. Найдите расстояние от точки A до прямой MB. М Найдем длину отрезка ВМ по формуле Н Задачи

Y Решение: А D В С S Z X 4) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 4. Точка M – середина SD. Найдите расстояние от точки A до прямой MB. М Из треугольника АМН Ответ: Н Задачи Из треугольника АМВ

) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны оснований которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки C до прямой SA. А ВС D ЕF S Н Решение: Д. п. Из треугольника АBC Из треугольника CSН Ответ: Найдем высоту треугольника ASC Ответ: Задачи

При создании презентации использовано пособие: