Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.

Определение Каждое из неравенств вида : а x² + b x + с > 0, а x² + b x + с < 0, а x² + b x + с 0, где a, b, c – числа, х – переменная, причём a 0, называется квадратным неравенством.

Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции сводится к: 1) определению направления ветвей параболы по знаку первого коэффициента; 2) отысканию нулей квадратичной функции (если они есть); 3) построению эскиза графика квадратичной функции; 4) определению промежутков, на которых квадратичная функция принимает нужные значения.

х х х х х х у у у у у у D>0 D<0 D=0D=0 D=0D=0 Поведение графика функции у = а х² + b x + c

Решение квадратного неравенства в зависимости от знака первого коэффициента и значения дискриминанта

х у D > 0D > 0 /////////////// \\\\\\\\\\\ + 0 2) ax² + b x + c < 0 1) ax² + b x + c > 0 1 случай

х у D = 0 ///////////////\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ + 0 2) ax² + b x + c < 0 1) ax² + b x + c > 0 Ø 2 случай

х у D < 0D < 0 /////////////////////////////////////////// + 0 2) ax² + b x + c < 0 1) ax² + b x + c > 0 Ø x любое действительное число 3 случай

х у D > 0D > 0 /////////////// \\\\\\\\\\\ + 0 2) ax² + b x + c < 0 1) ax² + b x + c > 0 4 случай

х у D = 0 ///////////////\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ + 0 2) ax² + b x + c < 0 1) ax² + b x + c > 0 Ø 5 случай

х у D < 0D < 0 /////////////////////////////////////////// + 0 2) ax² + b x + c < 0 1) ax² + b x + c > 0 Ø x любое действительное число 6 случай

-3 у >0; ,5 3-1,51,5 Указать при каких значениях х функция у принимает положительные значения у < 0; Указать при каких значениях х функция у принимает отрицательные значения Указать при каких значениях х функция у принимает значения, равные нулю у = 0 Блиц-опрос х х х х у у у у

у = 0;у = 0; 1 у х Указать при каких значениях х функция у принимает отрицательные значения у < 0; у < 0; Указать при каких значениях х функция у принимает положительные значения у > 0 у > 0 Указать при каких значениях х функция у принимает значения, равные нулю Блиц-опрос у уу х х х

Решить неравенство х² + 7 х 8 0. Решение. 1) Ветви параболы у = х² + 7 х 8 вверх (а > 0) 2) х² + 7 х 8 = 0; у х 0 3) Эскиз параболы: 81 ////////////////////// 4) Решение все числа из отрезка [8; 1] Ответ: [8; 1]

у х 0 4) Эскиз параболы: 32 ////////// 5) Решение все числа из объединения двух промежутков (; 3) и (2; + ) Ответ: (; 3) U (2; + ) Решить неравенство 2 х² 2 х + 12 < 0. Решение. 1) Делим обе части неравенства на 2 и меняем знак неравенства на противоположный: получаем равносильное неравенство: х² + х 6 > 0 2) Ветви параболы у = х² + х 6 вверх (а > 0) 3) х² + х 6 = 0; ///////

Решить неравенство 2 х² + 5 х 4 0. Решение. 1) Делим обе части неравенства на 1 и меняем знак неравенства на противоположный, получаем равносильное неравенство: 2 х² 5 х ) Ветви параболы у = 2 х² 5 х + 4 вверх (а > 0) 3) 2 х² 5 х + 4 = 0; D = = 7 < 0, значит, парабола у = 2 х² 5 х + 4 не пересекает ось абсцисс 4) Эскиз параболы: х у 0 5) Неравенство 2 х² 5 х решений не имеет Ответ: решений нет.

Решить неравенство 16 х² х. Решение. 1) Перепишем исходное неравенство в виде 16 х² 8 х или (4 х 1)² 0 2) Очевидно, что решением неравенства (4 х 1)² 0, а значит, и исходного неравенства, являются все действительные числа Ответ: х любое действительное число.

Блиц-опрос. Ученик решал квадратные неравенства и получил следующие ответы: а) х ± 3; г) х > 3 и х < 3. Как вы считаете, могли ли получиться такие ответы? Если да, то придумайте неравенства, имеющие такие решения; если нет, объясните, почему вы так считаете.

Задача. Найдите все значения m, для которых при всех значениях p выполняется неравенство (m² 1) p² 2(1 m) p + 1 > 0. Решение. 1) Квадратный трёхчлен при всех значениях р положителен, если а) соответствующее уравнение ____________________ б) ветви параболы направлены _________. 2) Первое условие а) выполняется, если _________. Второе условие б) выполняется, если первый коэффициент квадратного трёхчлена _________________.

3) Найдём D 1 : ____________________________ а) следовательно, должно выполняться неравенство ____________________ б) второе условие говорит о том, что _____________. Поскольку m² 1 = (______)(_______), неравенство _____________________ выполняется, если множители имеют __________________ знаки. Чтобы установить, при каких значениях m выполняются условия а) и б), надо решить две системы неравенств: откуда m > 1.

эта система не имеет решений. Ответ: неравенство выполняется для всех действительных значений p при m > 1.