Голодникова Алевтина Александровна – преподаватель математики ГБ ПОУ «Экономический колледж» г.Санкт-Петербурга

Содержание: 1. Правило произведения Правило произведения Правило произведения 2. Перестановки Перестановки 3. Размещения Размещения 4. Об авторе Об авторе Об авторе 5. Электронные ресурсы Электронные ресурсы Электронные ресурсы

Правило произведения Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Если существует m вариантов выбора первого элемента и для каждого из них имеется n вариантов выбора второго элемента, то всего существует m n различных пар с выбранными таким образом первым и вторым элементами.

Задача 1 Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3? Решение: m = 3, n = 4; m n = 12 Ответ: 12 Задача 2 Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3? Решение: m=3, n=4, k=4; mnk=3 4 4 =48 Ответ: 48 Задача 3Сколько различных пятибуквенных слов можно записать с помощью букв «и» и «л»? Решение: a = 2, b = 2, c = 2, d = 2, f=2; Ответ: 32 = =abcdf =

1 Сколько различных двузначных чисел с разными цифрами можно записать, используя цифры: 1 вариант: 1) 1, 2 и 3; 3) 5, 6, 7 и 8; 5) 0, 2, 4 и 6; 2 вариант: 2) 4, 5, и 6; 4) 6, 7, 8 и 9; 6) 0, 3, 5 и 7? Ответ: 1), 2) 6; 3), 4) 12; 5), 6) 9. 2 Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр: 1 вариант: 1) 2 и 3; 3) 0 и 2; 2 вариант: 2) 8 и 9; 4) 0 и 5? Ответ: 1), 2) 8; 3),4) 4.

3 Сколько различных трехзначных чисел, не имеющих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр: 1 вариант: 1) 3, 4 и 5; 3) 5, 6, 7 и 8; 2 вариант: 2) 7, 8, и 9; 4) 1, 2, 3 и 4? Ответ: 1),2) 6; 3),4) Сколько различных четырехбуквенных «слов» можно записать с помощью букв: 1 вариант: 1) «м» и «а»; 3) «к», «а» и «о»; 2 вариант: 2) «п» и «а»; 4) «ш», «а» и «л». Ответ: 1), 2) 16; 3), 4) 81. С.Р.

5 Путешественник может попасть из пункта А в пункт С, проехав через пункт В. Между пунктами А и В имеются три различные дороги, а между пунктами В и С - четыре различные дороги. Сколько существует различных маршрутов между пунктами А и С? Решение: m = 3, n = 4; mn = 34 = 12 Ответ: 12 АВС

6 Чтобы попасть из города М в город К, нужно проехать через город N. Между городами М и N имеются четыре автодороги, а из города N в город К можно попасть либо поездом, либо самолетом. Сколько существует различных способов добраться из города М в город К? Ответ: 8 С.Р. Д/З: § 60, 1051, Дополнительно

) 992 2) ) 720 2) 120 Сколькими способами могут распределиться золотая и серебряная медали на чемпионате по футболу, если в нем принимают участие: 1) 32 команды; 2) 16 команд? Сколькими способами можно составить расписание 5 уроков на один день из 5 различных предметов? Сколькими способами могут занять очередь в школьный буфет: 1) 6 учащихся; 2) 5 учащихся? Дополнительно

В классе 18 учащихся. Из их числа нужно выбрать физорга, культорга и казначея. Сколькими способами это можно сделать, если один ученик может занимать не более одной должности? В классе 20 учащихся. Необходимо назначить по одному дежурному в столовую, вестибюль и спортивный зал. Сколькими способами это можно сделать? Сколько существует пятизначных чисел, в которых все цифры, стоящие на нечетных местах, различны?

Решение упражнения 1: ), 2) 3), 4) 5), 6) Х Х Х = = =

Задача 3 Сколько различных пятибуквенных слов можно записать с помощью букв «и» и «л»? Решение: a = 2, b = 2, c = 2, d = 2, f=2; Ответ: 32 = = abcdf =

Перестановками из n элементов называются соединения (комбинации), которые состоят из одних и тех же n элементов и отличаются одно от другого только порядком их расположения. Задача 1: Сколькими способами можно поставить рядом на полке 4 различные книги? Решение: 4321=24 Ответ: 24 ХХХ

Число перестановок: (1) Произведение первых n натуральных чисел обозначают n! (читается «эн факториал») n! = (n –2)(n–1)n P n = n(n –1)(n – 2) (2)(2) P n = n! (3)(3)

1059 Найти значение: 1) P 5 = 5! = = 120 ; 2) P 7 ; 3) P 9 ; 4) P Сколькими способами можно рассадить четверых детей на четырех стульях в столовой? 1063 Сколько различных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 1,2,3,4,5 так, чтобы: 1) последней была цифра 3; 3) первой была цифра 5, а второй – цифра 1; 5) первыми были цифры 3 и 4, расположенные в любом порядке? Решение: 1) =

Решение: 3) = ) = Д/З: § 61, 1063 (четные) Упражнения:Упражнения:

Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 при условии, что в каждой записи нет одинаковых цифр? 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43. Из задачи видно, что любые два соединения отличаются либо составом элементов (12 и 24), либо порядком их расположения (12 и 21). Такие соединения называют размещениями.

Размещениями из m элементов по n элементов (n m) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из данных m разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения. Обозначение: читают «А из эм по эн»: = 12.

= m(m – 1)(m – 2) … (m – (n – 1)) = 4 3 = 12; = = 24; = = 60 = Сколькими способами можно обозначить данный вектор, используя буквы A, B, C, D, E, F? = 6 5 = 30 (1) (2)

= 56 Решение: n 2 и n N. По формуле (1) n = – 7 – посторонний корень n = 8 = n(n – 1) = – n, т. е.– n = 56, – n – 56 = 0, + = 1 = – 56 т. е. = – 7 = 8

Вычислить: Ответ: 225 Д/З: § 62, 1072, – 1075