10 класс

f ' (x 0 ) = lim ( f / x) x 0 П усть х - произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности точки Х0 (окрестность точки Х0 - это интервал (а; b), Х0 (а; b)). Разность х- Х0 называется приращением аргумента: x = х- Х0. Отсюда x = Х0 + x. Разность f(x)-f(Х0 ) называется приращением функции: f = f(x) - f(x0) или f = f(x0+x) – f(x0). Отсюда f (x0 +x) = f (x0 ) + f. Рис.1 Геометрический смысл приращений х и f показан на рис.1. Производной функции y = f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции f к приращению аргумента x, стремящегося к "нулю. Обозначается f ' (x 0 ). Итак,

Если функция у = f (х) имеет производную в точке x 0, то говорят, что она дифференцируема в точке x 0. Нахождение производной данной функции называется дифференцированием.

Правило 1 Если функции u и v дифференцируемы в точке x 0, то их сумма также дифференцируема в точке x 0, причем производная суммы равна сумме производных, т.е. ( + )'= ' + ' Правило 2 Если функции u и v дифференцируемы в точке x 0, то их произведение также дифференцируемо в точке x 0, причем ( )' = ' + '

Правило 3 Если функции и дифференцируемы в точке х 0 и (х 0 ) 0, то их частное также дифференцируемо в точке x 0, причем ( / )' = ( ' - ') / ² Правило 4 Если функция u дифференцируема в точке x 0 и с = const, то их произведение также дифференцируемо в точке x 0, причем (си)' = си'. Правило 5 Если f (g(х)) - сложная функция, то ее производная равна произведению производных внешней и внутренней функций, т.е. [f(g(x))]'= f '(g) g'(x)