Способ 1. Разложение левой части уравнения на множители. Ответ: 5; х - 8 х

Ответ: - 4; х + 4 х

Способ 2. Метод выделения полного квадрата. 2 3 х Ответ: 1; - 7

- 2 2 х Ответ: -1; 5

Способ 3. Решение квадратных уравнений по формуле. Дискриминант положителен. Уравнение имеет два корня. abc

Дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень. а b c

Дискриминант отрицателен. Уравнение не имеет корней.

Способ 4. Решение уравнений с использованием теоремы Виета Приведенное квадратное уравнение имеет вид Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а = 1 имеет вид

Примеры

Способ 5. Решение уравнений способом «переброски». Рассмотрим квадратное уравнение Умножая обе его части на а, получаем уравнение Пусть ах = у, откуда тогда приходим к уравнению равносильному данному.

Его корни у 1 и у 2 найдем используя теорему Виета, а тогда При этом способе коэффициент а умножается на свободный член (как бы «перебрасывается» к нему), поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение Используя теорему Виета: тогда

Используя метод «переброски», получим уравнение Используя теорему Виета:

Способ 6. Использование свойств коэффициентов квадратного уравнения. Пусть дано квадратное уравнение 1. Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то 2. Если а – b + с = 0, или b = а + с, то

3. Если в уравнении 4. Если а = - с = m·n, b = m 2 – n 2, то корни имеют разные знаки, а именно: Знаки перед дробями определяются знаком второго коэффициента

Решение: так как а + b + с = 0 (2 – = 0), то Решение: так как 7 – 5 – 2 = 0, то

Решение: так как а – b + с = 0 (5 – = 0), то Решение: так как 5 – (-2) + 7 = 0, то

Решение: здесь 6 = 3·2, 13 = Корни этого уравнения Решение: здесь 6 = 3·2, но 5 = 3 2 – 2 2 и

Способ 7. Графическое решение квадратного уравнения Если в уравнении перенести второй и третий члены в правую часть, то получим Построим графики функций и График первой функции – парабола, проходящая через начало координат. График второй функции – прямая.

Решить графически уравнение Запишем уравнение в виде Построим параболу и прямую у х Прямая и парабола пересекаются в точке с абсциссой х =1. Ответ: 1.

Решить графически уравнение Запишем уравнение в виде Построим параболу и прямую у х Прямая и парабола не пересекаются. Ответ: нет решений

Графический способ решения квадратных уравнений крайне неудобен. Для построения параболы по точкам требуется много времени Степень же точности получаемых результатов невелика.