Нелинейные диофантовы уравнения Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.

Решение уравнений в целых или в натуральных числах одна из наиболее древних задач математической науки, важная и для современной математики. Существенной особенностью таких уравнений является наличие в одном уравнении нескольких переменных. Задача состоит в следующем: для заданного уравнения надо найти все целые или натуральные значения переменных, входящих в уравнение, при которых оно превращается в истинное равенство.

В истории математики задача решения уравнений в натуральных числах связывается с именем древнегреческого математика Диофанта, придумавшего для таких уравнений много разнообразных приёмов решения, и поэтому их называют диофантовыми. Так же называют и уравнения в целых числах. Ввиду бесконечного разнообразия диофантовых уравнений общего алгоритма их решений не существует, и практически для каждого уравнения приходится изобретать индивидуальный приём.

Простейший приём их решения перебор, который всегда пытаются сократить с помощью дополнительных соображений. Решение. Так как обе переменные входят в уравнение в чётных степенях, то достаточно найти только натуральные решения, а затем в полученных решениях произвольным образом поставить знаки. Пример 1. Решить уравнение 2 x² + y² = 267 в целых числах. Вначале ограничим объём перебора заметим, что 2 х² < 267, х² < 133, х 11, и составим таблицу, где у² = х²:

х² х²2 х² у²у² у 135 Из этой таблицы видно, что данное уравнение имеет решения (±7, ±13) и (±11, ±5), или подробнее : (7, 13), (7, 13), (7, 13), (7, 13), (11, 5), (11, 5), (11, 5), (11, 5).

Можно было бы заметить, что в любом решении данного уравнения число у должно быть нечётным, т. е. у = 2z 1, и переписать уравнение в виде 2 х² + (2z 1)² = 267, 2x² + (4z² 4z + 1) = 267, x² + 2z² 2z = 133. Из последнего равенства следует, что число х также нечётное, и теперь понадобится перебор всего 6, а не 11 значений х, как в приведённом решении.

Ответ:(1 + 2 n; 23n), nцелое число. Пример 2. Решить уравнение 2x ³ + 3y² = 397 в целых числах. Решение. Вначале ограничим объём перебора заметим, что 3 у² < 397, у² < 133, у 11. Кроме того, у не может быть чётным в противном случае 3 у² чётно, у² нечётно и не может быть равным 2 х³. Второе соображение позволяет сократить вдвое перебор. Составим таблицу, где 2 х³ = у²:

Очевидно, что в уравнении одно решение: (5;7). у² у²3 у² х³2 х³ х³х³ х 5

Решение. Заметим, что 1 = 1 1 = 1 (1). Значит, возможны варианты: Рассмотрим другие способы решения нелинейных диофантовых уравнений. Пример 3. Решить уравнение (х 2)(х у + 4) = 1 в целых числах. 1) х 2 = 1, тогда х = 3, значит 3 у + 4 = 1, у = 1; 2) х 2 = 1, тогда х = 1, значит у + 4 = 1, у = 5. Ответ: (3; 1); (1; 5).

Пример 4. Решить уравнение 2 х² + х у = х + 7 в целых числах. Решение. Перепишем заданное уравнение в виде 2 х² + х у х = 7, х (2 х + у 1) = 7. Заметим, что 7 = 1 7 = 1 (7) = 7 1 = 7 (1) Значит, возможны варианты: 1) х = 1, у 1 = 7, у = 6; 3) х = 7, 14 + у = 1, у = 12. 2) х = 1, 2 + у 1 = 7, у = 4. 4) х = 7, 14 + у 1 = 1, у = 14. Ответ: (1; 6); (1; 4), (7; 12), (7; 14).

Пример 5. Решить уравнение х² х у х + у = 1 в целых числах. Решение. Перепишем заданное уравнение в виде х ( х у ) ( х у ) = 1, (х у )( х 1) = 1. Заметим, что 1 = 1 1 = 1 (1). Значит, возможны варианты: 1) х 1 = 1, тогда х = 2, значит 2 у = 1, у = 1; 2) х 1 = 1, тогда х = 0, значит 0 у = 1, у = 1. Ответ: (2; 1); (0; 1).

Пример 6. Решить уравнение х² 3 х у = х 3 у + 2 в целых числах. Решение. Перепишем заданное уравнение в виде х 3 ху х + 3 у = 2, х ( х 1 ) 3 у( х 1 ) = 2, (х 1)( х 3 у) = 2. Заметим, что 2 = 1 2 = 2 1 = 1 (2) = 2 (1). 1) х 1 = 1, тогда х = 2, у = 0; 3) х 1 = 1, тогда х = 0, у = 2/3; Ответ: (2; 0); (1; 0). 2) х 1 = 2, тогда х = 3, у = 2/3; 3) х 1 = 2, тогда х = 1, у = 0.

Пример 7. Решить уравнение у² 2 х у = 2 х + 6 в целых числах. Ответ: (0; 0); (3; 1). Ответ: (1; 4); (3; 6), (1; 2), (3; 0). Пример 8. Решить уравнение 3 у + 3 х у + 2 х = 0 в целых числах. Пример 9. Решить уравнение у + 2 х у + 4 х = 0 в целых числах. Ответ: (0; 0); (1; 4).

Ответ: (0; 0); (2; 2). Ответ: (0; 2); (4; 2), (2; 4), (2; 0). Пример 12. Решить уравнение 2 у² 3 х у + х² = 3 в целых числах. Пример 10. Решить уравнение у + х = х у в целых числах. Пример 11. Решить уравнение у х = х у + 2 в целых числах. Ответ: (5; 2); (1; 2), (5; 2), (1; 2). Задания для самостоятельного решения