«Производная. Точки экстремума и перегиба. Возрастание и выпуклость функции» Конкурс презентаций «Интерактивная мозаика» на сайте Pedsovet.su Интерактивное пособие выполнила преподаватель математики Петрозаводского лесотехнического техникума ФАЛИНА ТАТЬЯНА БОРИСОВНА Петрозаводск 2013 Алгоритм работы: 1. Работа с презентацией позволяет сформировать основные понятия по теме, познакомиться со свойствами функции с позиции производной. 2. Презентация содержит определения, графики, свойства и теоремы, которые в случае необходимости можно законспектировать, нажав паузу. 3. Для перехода на содержание –, управление презентацией – по щелчку мыши

Вогнутость функции Точки максимума Точки минимума Точки перегиба Убывание функции Выпуклость функции СОДЕРЖАНИЕ Нули функции y=f(x) Возрастание функции

1. Возрастание функции Функция y=f(x) называется возрастающей на промежутке, если при возрастании аргумента, значение функции увеличивается Функция y=f(x) возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции Теорема: Если производная на промежутке положительная, то функция y=f(x) на данном промежутке возрастает. y=f(x) у>0

2. Убывание функции Функция y=f(x) называется убывающей на промежутке, если при возрастании аргумента, значение функции уменьшается. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции Теорема: Если производная на промежутке отрицательная, то функция y=f(x) на данном промежутке убывает. y=f(x) у< 0

3. Точки максимума Точка х = а называется точкой максимума функции y=f(x) если производная в данной точке равна 0, и при переходе через эту точку слева направо знак производной меняется с (+) на (-) y=f(x) x max x Распознать точку максимума по графику функции очень просто. График функции в окрестности точки максимума выглядят как гладкий холм x f (x) +– max x0x0 у< 0 у>0 у< 0 у>0

4. Точки минимума Точка х = а называется точкой минимума функции y=f(x) если производная в данной точке равна 0, и при переходе через эту точку слева направо знак производной меняется с (-) на (+) Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума. y=f(x) x min x Распознать точку минимума по графику функции очень просто. График функции в окрестности точки минимума выглядят как гладкая впадина x f (x) + – min x0x0 у< 0 у>0 у< 0 у>0

5. Выпуклость функции Функция y=f(x) называется выпуклой на промежутке, если все точки графика функции расположены ниже касательной. y=f(x) касательная ТЕОРЕМА: Функция y=f(x) является выпуклой на промежутке, если вторая производная на этом промежутке отрицательная. касательная у<0

6. Вогнутость функции Функция y=f(x) называется вогнутой на промежутке, если все точки графика функции расположены выше касательной. y=f(x) касательная у>0 ТЕОРЕМА: Функция y=f(x) является вогнутой на промежутке, если вторая производная на этом промежутке положительная. у>0

7. Точки перегиба P 1 Точка Р называется точкой перегиба функции y=f(x) если при переходе через эту точку слева направо знак второй производной меняется. y=f(x) P1P1 P2P2 P3P3 Распознать точку перегиба по графику функции очень просто. График функции в окрестности точки перегиба выглядит границей между холмом и впадиной Р у>0 у<0

8. Нули функции Точки, в которых график функции пересекает ось ОХ называются нулями функции. Ординаты этих точек равны 0. f( x 1 )= f( x 2 )=0 y=f(x) X1 = 2,5 и X2 = 5,5 - нули функции f( x 1 )= f( x 2 )=0

Список литературы: Учебник: Богомолов, Н. В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для студентов сред. проф. учеб. заведений Список литературы: Учебник: Богомолов, Н. В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для студентов сред. проф. учеб. заведений Презентация может быть использована на уроках математики для формирования умения формулировать свойства графиков функций, с применением производной по теме «Производная. Точки экстремума и перегиба. Возрастание и выпуклость функции». Петрозаводск 2013 г