Готовимся к ЕГЭ. Задача С2. Расстояние между точками. МБОУ г. Мурманска гимназия 3 Шахова Татьяна Александровна

Расстояние между точками А и В можно вычислить как длину отрезка АВ, если отрезок AB удается включить в некоторый треугольник в качестве одной из его сторон. Поэтапно вычислительный метод. Пример

Координатный метод. 1)Ввести удобную систему координат. 2)Вычислить координаты точек А и В. 3)Найти длину отрезка АВ по формуле Как вычислить координаты внутренней точки С отрезка АВ, если АС:СВ=k? Назад Пример Тренировочные упражнения смотри по адресу:

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на диагоналях граней AD 1 и D 1 B 1 взяты точки E и F так, что D 1 E=1/3AD 1, D 1 F=2/3D 1 B 1. Найдите расстояние между точками Е и F. А С D D1D1 В1В1 F В Отрезок ЕF является стороной треугольника D 1 EF. Решение: Угол F 1 D 1 E=60 0, так как является углом равностороннего треугольника B 1 D 1 A. (диагональ единичного квадрата). А1А1 С E

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на диагоналях граней AD 1 и D 1 B 1 взяты точки E и F так, что D 1 E=1/3AD 1, D 1 F=2/3D 1 B 1. Найдите расстояние между точками Е и F. А С С D D1D1 А1А1 В1В1 F В E Решение: F E D1D1 Воспользуемся теоремой косинусов Ответ: Назад

N L В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точки Е и К середины ребер АА 1 и СD соответственно, а точка М расположена на Диагонали B 1 D 1 так, что B 1 M=2MD 1. Найдите расстояние между серединами отрезков ЕМ и МК. А С D D1D1 В1В1 Е В Решение: А1А1 С К М X Y Z Введем прямоугольную систему координат Тогда: Для нахождения координат точки М воспользуемся формулой

N L В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точки Е и К середины ребер АА 1 и СD соответственно, а точка М расположена на Диагонали B 1 D 1 так, что B 1 M=2MD 1. Найдите расстояние между серединами отрезков ЕМ и МК. А С D D1D1 В1В1 Е В Решение: А1А1 С К М X Y Z Найдем координаты середин отрезков МЕ и МК

L N В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точки Е и К середины ребер АА 1 и СD соответственно, а точка М расположена на Диагонали B 1 D 1 так, что B 1 M=2MD 1. Найдите расстояние между серединами отрезков ЕМ и МК. А С D D1D1 В1В1 Е В Решение: А1А1 С К М X Y Z Найдем длину отрезка NL по формуле Ответ:

)Ребра правильной четырехугольной призмы равны 1, 4 и 4 Найдите расстояние от вершины до центра основания призмы не содержащей эту вершину. Тренировочные упражнения Решение 2) В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точки Е, К и L середины ребер АА 1, СD и В 1 С 1 соответственно, а точки М и N расположены соответственно на отрезках ЕК и LК так, что ЕМ:MК=2:3, а LN:NK=1:4. Найдите длину отрезка MN. Решение 3) В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 точки Е и К расположены соответственно на ребрах АВ и В 1 С 1 таким образом, что АЕ:ЕВ=1:2, а В 1 К:KС 1 =5:1. Найдите длину отрезка ЕК, если АВ=6, АА 1 =2. Решение

Тренировочные упражнения Решение 4) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 2, найдите расстояние от точки А до точек а) С1, б) D1, в) М, где М – центр грани EE 1 D 1 D. Решение 5) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, сторона основания и боковое ребро которой равны соответственно. Найдите расстояние между точками E и K, если известно, что Е лежит на боковом ребре SB и ВE =2 ES, а K – на стороне основания AD и DK =3KA.

1)Ребра правильной четырехугольной призмы равны 1, 4 и 4 Найдите расстояние от вершины до центра основания призмы не содержащей эту вершину. А С D D 1 В1В1 Е В Решение: А1А1 С Найдем расстояние от точки D 1 до центра основания АВСD. D 1 Е является гипотенузой треугольника DED 1, в котором катет DD 1 =1. DЕ – половина диагонали квадрата со стороной 4. Из треугольника DED 1 Ответ: 3 Назад

С Z Y X А С D D1D1 В1В1 Е В Решение: А1А1 Назад 2) В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точки Е, К и L середины ребер АА 1, СD и В 1 С 1 соответственно, а точки М и N расположены соответственно на отрезках ЕК и LК так, что ЕМ:MК=2:3, а LN:NK=1:4. Найдите длину отрезка MN. K L Введем прямоугольную систему координат Тогда: Для нахождения координат точек М и N воспользуемся формулой M N

А С D D1D1 В1В1 Е В Решение: А1А1 С Назад 2) В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точки Е, К и L середины ребер АА 1, СD и В 1 С 1 соответственно, а точки М и N расположены соответственно на отрезках ЕК и LК так, что ЕМ:MК=2:3, а LN:NK=1:4. Найдите длину отрезка MN. K L Z X Y M N Найдем длину отрезка MN по формуле Ответ:

Решение: Назад 3) В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 точки Е и К расположены соответственно на ребрах АВ и В 1 С 1 таким образом, что АЕ:ЕВ=1:2, а В 1 К:KС 1 =5:1. Найдите длину отрезка ЕК, если АВ=6, АА 1 =2. А С В1В1 В А1А1 С Е К Z X Y А В С 6 х ВхВ yВyВ х ВхВ yВyВ 3 3 Введем прямоугольную систему координат Тогда: Y X

Решение: Задачи 3) В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 точки Е и К расположены соответственно на ребрах АВ и В 1 С 1 таким образом, что АЕ:ЕВ=1:2, а В 1 К:KС 1 =5:1. Найдите длину отрезка ЕК, если АВ=6, АА 1 =2. А С В1В1 В А1А1 С Е К Z X Y Для нахождения координат точек Е и К воспользуемся формулой

Решение: Задачи 3) В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 точки Е и К расположены соответственно на ребрах АВ и В 1 С 1 таким образом, что АЕ:ЕВ=1:2, а В 1 К:KС 1 =5:1. Найдите длину отрезка ЕК, если АВ=6, АА 1 =2. Найдем длину отрезка ЕК по формуле Ответ:

Решение: 4) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 2, найдите расстояние от точки А до точек а) С 1, б) D 1, в) М, где М – центр грани EE 1 D 1 D. А С D D1D1 В1В1 В А1А1 С E F1F1 F а)Отрезок АС 1 является гипотенузой треугольника АС 1 С. В А С Найдем АС из треугольника АВС Найдем АС 1 из треугольника АС 1 С Ответ: а) 4. E Задачи

Решение: 4) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 2, найдите расстояние от точки А до точек а) С 1, б) D 1, в) М, где М – центр грани EE 1 D 1 D. А С D D1D1 В1В1 В А1А1 С E F1F1 F б)Отрезок АD 1 является гипотенузой треугольника АD 1 D. Большая диагональ правильного шестиугольника в два раза больше его стороны Найдем АD 1 из треугольника АD 1 D Ответ: б). E Задачи

Решение: 4) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 2, найдите расстояние от точки А до точек а) С 1, б) D 1, в) М, где М – центр грани EE 1 D 1 D. А С D D1D1 В1В1 В А1А1 С E F1F1 F в)Неудачный чертеж (отрезки АМ и ЕМ перекрывают друг друга). Расположим призму иначе. М E Задачи

Решение: 4) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 2, найдите расстояние от точки А до точек а) С 1, б) D 1, в) М, где М – центр грани EE 1 D 1 D. А С D D1D1 В1В1 В А1А1 С E F1F1 F в) М E Отрезок АМ является гипотенузой треугольника АМН. Н А Н E Д. п.. МН = половине бокового ребра=1. Ответ: в). АН=? Задачи (см. задачу а))

К Е Решение: Задачи 5) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, сторона основания и боковое ребро которой равны соответственно. Найдите расстояние между точками E и K, если известно, что Е лежит на боковом ребре SB и ВE =2 ES, а K – на стороне основания AD и DK =3KA. А D В С S Z X Y Введем прямоугольную систему координат Тогда: xSxS ySyS X Y С ВА D O O xSxS ySyS ? ? Из треугольника COS: (половина диагонали квадрата со стороной )

Решение: А D В С S Е К Z X Y Для нахождения координат точки Е воспользуемся формулой 5) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, сторона основания и боковое ребро которой равны соответственно. Найдите расстояние между точками E и K, если известно, что Е лежит на боковом ребре SB и ВE =2 ES, а K – на стороне основания AD и DK =3KA. Задачи

Решение: А D В С S Е К Z X Y Для нахождения координат точки K воспользуемся формулой 5) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, сторона основания и боковое ребро которой равны соответственно. Найдите расстояние между точками E и K, если известно, что Е лежит на боковом ребре SB и ВE =2 ES, а K – на стороне основания AD и DK =3KA. Задачи

Решение: 5) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, сторона основания и боковое ребро которой равны соответственно. Найдите расстояние между точками E и K, если известно, что Е лежит на боковом ребре SB и ВE =2 ES, а K – на стороне основания AD и DK =3KA. Найдем длину отрезка ЕК по формуле Ответ:. Задачи

При создании презентации использовано пособие: