Готовимся к ЕГЭ. Прототипы В9, В11. Комбинация: призма - пирамида. В создании презентации принимали участие ученики 10В класса Козлов Артем и Синицына Кристина. Научный руководитель: Шахова Татьяна Александровна год

3

4 Объем призмы равен произведению площади основания на высоту. h h

Пирамидой называется многогранник, основанием которой является многоугольник, а боковые грани - треугольники, имеющие общую точку. Общая точка является вершиной пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания называются боковыми ребрами. Высотой пирамиды является перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания ( SO ).

Правильная пирамида - пирамида, основание которой правильный многоугольник и основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Апофема правильной пирамиды - высота боковой грани, опущенная из вершины ( SH ). H Для правильной пирамиды.

От треугольной призмы, объем которой равен 6, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части. Ответ: 4 1 Объём призмы равен Объём пирамиды равен Подставим в формулы объемов и разделим первое на второе: Объем оставшейся части =

Объём параллелепипеда равен Объём пирамиды равен Объем параллелепипеда равен 12. Найдите объем треугольной пирамиды. 2 Козлов Артём 10 «В» Ответ: 2 Подставим в формулы объемов и разделим первое на второе:

Объём параллелепипеда равен Объём пирамиды равен Найдите объем параллелепипеда, если объем треугольной пирамиды равен 3. 3 Ответ: Подставим в формулы объемов и разделим первое на второе: 18

Объем тетраэдра равен 1,9. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины ребер данного тетраэдра. 4 Козлов Артём 10 «В» Ответ: Объем этого многогранника равен разности объемов исходного тетраэдра и четырех «отсеченных» тетраэдров. Сравним один из них: SA 1 B 1 C 1 с исходным: SABC. Очевидно, что тетраэдры подобны и 0,95

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, у которого AB=4, AD=3, AA 1 =4. 5 Синицына Кристина 10 «В» Ответ: 8 Многогранником является пирамида D 1 ABC. Основание – прямоугольный треугольник АВС с катетами 3 и 4.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A 1 правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1, площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3. 6 Синицына Кристина 10 «В» Ответ: 2 Многогранником является пирамида А 1 ABC.

Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной центр куба. Ответ: 2 7 Объём призмы равен Объём пирамиды равен Подставим в формулы объемов и разделим первое на второе: Куб можно рассматривать, как призму

Объем параллелепипеда АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды AD 1 CB 1. 8 Ответ: Объем пирамиды AD 1 CB 1 равен разности объемов исходного параллелепипеда и четырех «отсеченных» пирамид. Сравним одну из них: В 1 ABC с исходным параллелепипедом. Объём параллелепипеда равен Объём пирамиды равен Подставим в формулы объемов и разделим первое на второе: 1,5

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, D, А 1, В, С, В 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, у которого АВ=3, АD=4, АА 1 =5. 9 Ответ: Диагональное сечение А 1 В 1 СD делит прямоугольный параллелепипед на два равных многогранника. Объем одного из них требуется найти.. 30

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А 1, В, С, С 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, у которого АВ=4, АD=3, АА 1 = Ответ: Лучше всего расположить параллелепипед, как на рисунке. Пирамида и параллелепипед имеют общее основание и высоту. 16 Многогранник, объем которого требуется найти – пирамида A 1 B 1 C 1 СВ. Объём параллелепипеда равен Объём пирамиды равен => Объем пирамиды в три раза меньше объема параллелепипеда

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, С, В 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, у которого АВ=3, АD=3, АА 1 = Ответ: Объём параллелепипеда равен Объём пирамиды равен Подставим в формулы объемов и разделим первое на второе: Многогранник, объем которого требуется найти – пирамида B 1 ВАС. 6

Объем многогранника равен разности объемов исходной призмы и пирамиды А 1 В 1 С Ответ: 4 Объем многогранника= Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, С, А1, С 1 правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро =2. 12

Ответ: 4 Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, С, D, E, F, А 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно Многогранник, объем которого требуется найти – пирамида А 1 АВСDEF.

Ответ: 1 Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, C, B 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно Многогранник, объем которого требуется найти – пирамида B 1 АВС. Сравним площади оснований. Шестиугольник составлен из 12 равных треугольников, а треугольник АВС - из двух. => S ABC в шесть раз меньше площади шестиугольника. => S ABC =6:6=1

Спасибо за работу.