Преобразование Наполеона четырехугольников
Преобразование Наполеона четырехугольников сопоставляет четырехугольнику новый четырехугольник, вершинами которого являются центры квадратов, построенных на сторонах исходного четырехугольника. Теорема Наполеона утверждает: если на сторонах произвольного треугольника вне его построить правильные треугольники, то их центры образуют правильный треугольник.
Преобразование Наполеона четырехугольников Если на сторонах произвольного четырехугольника построить квадраты, то их центры образуют другой четырехугольник, в котором диагонали равны и взаимно перпендикулярны. Этим свойством обладают диагонали квадрата, поэтому образовавшийся четырехугольник можно назвать квадратоидом. Значит, преобразованием Наполеона произвольного четырехугольника является квадратоид.
Если на сторонах параллелограмма построить квадраты, то их центры образуют квадрат или преобразованием Наполеона параллелограмма является квадрат (доказательство теоремы в пункте 6).
Если на сторонах ромба построить квадраты, то их центры образуют квадрат или преобразованием Наполеона ромба является квадрат.
Если на сторонах трапеции построить квадраты, то их центры образуют четырехугольник, диагонали которого равны и взаимно перпендикулярны. Преобразованием Наполеона трапеции является квадратоид.
Если на сторонах равнобокой трапеции построить квадраты, то их центры образуют четырехугольник, диагонали которого равны и взаимно перпендикулярны, а смежные стороны попарно равны. Образовавшийся четырехугольник можно назвать дельтоидом (он напоминает дельтаплан). Значит, преобразованием Наполеона равнобокой трапеции является дельтоид.
Докажем, что если на сторонах параллелограмма построены квадраты, то их центры образуют квадрат.
Доказательство состоит из двух частей: a) докажем, что в четырехугольнике FGHE все стороны равны; б) докажем, что четырехугольник FGHE все углы по 90 градусов.
а) Пусть АВСD – параллелограмм и F, G, H, E - центры квадратов, построенных соответственно на сторонах АD, AВ, BC и DC. 1)Рассмотрим ΔFAG и Δ HCE. AF = HC – как радиусы одинаковых окружностей, описанных около равных квадратов. Аналогично, AG = CE. <FAG = < FAD + < DAB + < BAG = = 90° +< DAB; < HCE = < HCB + < BCD + < DCE = = 90° + < BCD. < DAB = < BCD - как противоположные углы в параллелограмме. Значит, < FAG = < HCE. Следовательно, Δ FAG = Δ HCE (по двум сторонам и углу между ними).
а) Пусть АВСD – параллелограмм и F, G, H, E - центры квадратов, построенных соответственно на сторонах АD, AВ, BC и DC. 2) Рассмотрим Δ FDE и Δ GBH. FD = HB - как радиусы одинаковых окружностей, описанных около равных квадратов. Аналогично, DE = BG. < FDE = 360° - ( 90° + < ADC) = =270° - < ADC; < GBH = 360° - ( 90° + < ABC) = =270° - < ABC. < ADC = < ABC – как противоположные углы в параллелограмме. Значит, < FDE = < GBH. Следовательно, Δ FDE = Δ GBH (по двум сторонам и углу между ними).
3) Докажем, что Δ FDE = Δ FAG. AF = FD - как радиусы окружности, описанной около квадрата, построенного на стороне AD параллелограмма ABCD. AG = DE - как радиусы одинаковых окружностей, описанных около равных квадратов. Докажем, что <FAG = < FDE. < FAG = 90° + < SAT; <FDE = 90° + < LDN. Рассмотрим прямые АВ, DC и секущую AD. АВ || DC как прямые, содержащие противоположные стороны АВ и DC параллелограмма АВСD. < SAT + < ADC = 180° - как внутренние односторонние углы при параллельных прямых АВ, DC и секущей AD. < SAT = 180° - < ADC. * < ADC = 360° - (180° + < LDN) = 180° - < LDN, ** Подставим (**) в (*). < SAT = 180° - < ADC= 180° - (180° - < LDN) = < LDN. Получили, что < FAG = < FDE, значит Δ FDE = Δ FAG по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, Δ FАG = Δ GBH = Δ HCE = Δ EDF по двум сторонам и углу между ними. Стороны FG, GH, HE и FE лежат в этих треугольниках против равных углов и, следовательно, равны. Значит, в четырехугольнике FGHE все стороны равны.
б) <AGB = < AGF + < FGB; < AGB = 90° - так, как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. < FGB= < AGB - < AGF= 90° - < AGF < FGH = < FGB + < BGH = =(90° - < AGF) + < BGH. Так как < AGF = < BGH – как соответствующие углы в равных треугольниках (см. пункт а), то < FGH =90°. Аналогично доказываем, что < GHE = < EFG = < FGН = < HEF = 90°. Следовательно, четырехугольник FGHE – квадрат. Что и требовалось доказать.