Преобразование Наполеона четырехугольников. Преобразование Наполеона четырехугольников сопоставляет четырехугольнику новый четырехугольник, вершинами.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Геометрия 9 класс Многоугольники. Содержание Правильные многоугольники Параллелограмм Прямоугольник Ромб Трапеция Теоремы о площади четырехугольника.
Advertisements

Четырехугольники. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ О О В А О S = DC*AH H.
Многоугольники, описанные около окружности Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Сама окружность.
Параллелограмм. Определение Параллелограмм – это четырехугольник, у кото- рого противоположные стороны попарно парал- лельны В начало Вперед.
Средняя линия треугольника Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Многоугольники, описанные около окружности Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Сама окружность.
Урок 11 1) Какой многоугольник называется описанным около окружности? 2) Какая окружность называется вписанной в многоугольник? 3) Можно ли вписать окружность.
Учитель математики МБОУ Староюрьевской СОШ Журавлева Марина Валентиновна.
Многоугольники Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков AB, BC, CD, DE, EF, FA так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки.
Признак параллелограмма Теорема 1. (Первый признак параллелограмма.) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник -
3.3 Параллелограмм Школа 2100 school2100. ru Презентация для учебника Козлова С. А., Рубин А. Г. «Математика, 6 класс. Ч. 1» ГЛАВА III ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ.
§4. Трапеция.. Задача 4 из диагностической работы Найдите площадь трапеции с основаниями 18 и 13 и боковыми сторонами 3 и Дополнительное построение.
Подготовили: ученицы 8 Бкласса Пашвинская Т., Костромина Е., Харьковская Е. Руководитель: Мариничева Ирина Михайловна. умя другими?
Параллелограмм. Параллелограмм Что общего у всех этих четырехугольников?
Презентация к уроку по геометрии (8 класс) по теме: Презентация на тему: "Прямоугольник, ромб, квадрат"
Работа ученицы 9Б класса Медведевой Ларисы. Руководитель: Малышева Р. Н.
А В С D Параллелограмм есть четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны. Любые две противоположные стороны можно назвать основаниями.
Прямоугольник, ромб, квадрат Урок1. I. Устная работа 1) Существует ли параллелограмм, у которого сторона и диагонали равны соответственно: а) 6 см, 10.
1. Найдите площадь треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1. Ответ. 9. Решение 2. Проведем высоту AH. Тогда BC = 6, AH = 3 и, следовательно,.
Признаки параллелограмма. Первый признак Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Транксрипт:

Преобразование Наполеона четырехугольников

Преобразование Наполеона четырехугольников сопоставляет четырехугольнику новый четырехугольник, вершинами которого являются центры квадратов, построенных на сторонах исходного четырехугольника. Теорема Наполеона утверждает: если на сторонах произвольного треугольника вне его построить правильные треугольники, то их центры образуют правильный треугольник.

Преобразование Наполеона четырехугольников Если на сторонах произвольного четырехугольника построить квадраты, то их центры образуют другой четырехугольник, в котором диагонали равны и взаимно перпендикулярны. Этим свойством обладают диагонали квадрата, поэтому образовавшийся четырехугольник можно назвать квадратоидом. Значит, преобразованием Наполеона произвольного четырехугольника является квадратоид.

Если на сторонах параллелограмма построить квадраты, то их центры образуют квадрат или преобразованием Наполеона параллелограмма является квадрат (доказательство теоремы в пункте 6).

Если на сторонах ромба построить квадраты, то их центры образуют квадрат или преобразованием Наполеона ромба является квадрат.

Если на сторонах трапеции построить квадраты, то их центры образуют четырехугольник, диагонали которого равны и взаимно перпендикулярны. Преобразованием Наполеона трапеции является квадратоид.

Если на сторонах равнобокой трапеции построить квадраты, то их центры образуют четырехугольник, диагонали которого равны и взаимно перпендикулярны, а смежные стороны попарно равны. Образовавшийся четырехугольник можно назвать дельтоидом (он напоминает дельтаплан). Значит, преобразованием Наполеона равнобокой трапеции является дельтоид.

Докажем, что если на сторонах параллелограмма построены квадраты, то их центры образуют квадрат.

Доказательство состоит из двух частей: a) докажем, что в четырехугольнике FGHE все стороны равны; б) докажем, что четырехугольник FGHE все углы по 90 градусов.

а) Пусть АВСD – параллелограмм и F, G, H, E - центры квадратов, построенных соответственно на сторонах АD, AВ, BC и DC. 1)Рассмотрим ΔFAG и Δ HCE. AF = HC – как радиусы одинаковых окружностей, описанных около равных квадратов. Аналогично, AG = CE. <FAG = < FAD + < DAB + < BAG = = 90° +< DAB; < HCE = < HCB + < BCD + < DCE = = 90° + < BCD. < DAB = < BCD - как противоположные углы в параллелограмме. Значит, < FAG = < HCE. Следовательно, Δ FAG = Δ HCE (по двум сторонам и углу между ними).

а) Пусть АВСD – параллелограмм и F, G, H, E - центры квадратов, построенных соответственно на сторонах АD, AВ, BC и DC. 2) Рассмотрим Δ FDE и Δ GBH. FD = HB - как радиусы одинаковых окружностей, описанных около равных квадратов. Аналогично, DE = BG. < FDE = 360° - ( 90° + < ADC) = =270° - < ADC; < GBH = 360° - ( 90° + < ABC) = =270° - < ABC. < ADC = < ABC – как противоположные углы в параллелограмме. Значит, < FDE = < GBH. Следовательно, Δ FDE = Δ GBH (по двум сторонам и углу между ними).

3) Докажем, что Δ FDE = Δ FAG. AF = FD - как радиусы окружности, описанной около квадрата, построенного на стороне AD параллелограмма ABCD. AG = DE - как радиусы одинаковых окружностей, описанных около равных квадратов. Докажем, что <FAG = < FDE. < FAG = 90° + < SAT; <FDE = 90° + < LDN. Рассмотрим прямые АВ, DC и секущую AD. АВ || DC как прямые, содержащие противоположные стороны АВ и DC параллелограмма АВСD. < SAT + < ADC = 180° - как внутренние односторонние углы при параллельных прямых АВ, DC и секущей AD. < SAT = 180° - < ADC. * < ADC = 360° - (180° + < LDN) = 180° - < LDN, ** Подставим (**) в (*). < SAT = 180° - < ADC= 180° - (180° - < LDN) = < LDN. Получили, что < FAG = < FDE, значит Δ FDE = Δ FAG по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, Δ FАG = Δ GBH = Δ HCE = Δ EDF по двум сторонам и углу между ними. Стороны FG, GH, HE и FE лежат в этих треугольниках против равных углов и, следовательно, равны. Значит, в четырехугольнике FGHE все стороны равны.

б) <AGB = < AGF + < FGB; < AGB = 90° - так, как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. < FGB= < AGB - < AGF= 90° - < AGF < FGH = < FGB + < BGH = =(90° - < AGF) + < BGH. Так как < AGF = < BGH – как соответствующие углы в равных треугольниках (см. пункт а), то < FGH =90°. Аналогично доказываем, что < GHE = < EFG = < FGН = < HEF = 90°. Следовательно, четырехугольник FGHE – квадрат. Что и требовалось доказать.