Функции с целой и дробной частью

Применение функций у = [х], у = {х}, у = (х), у = Γх l, у = {{х}} к решению задач

Решить уравнение: {3{х}} = {х} 1

Решение: По свойству, {k{x}} = {kx}, где k - натуральное число. {3 х}=х. По определению дробной части (Дробной частью {х} числа х называется разность числа и его целой части ), {3 х}=3 х-3[х].

3 х-3[х] = х, 2 х/3 = [х]. Построим графики функций у = [х] и у = 2 х/3:

Точки пересечения графиков: [х] = 1, тогда х= 1,5; [х] = 0, тогда х = 0. Ответ : x l = 0, х 2 = 1,5.

2 Доказать свойство функции у = {{х}}: {{х}} = |{х + 0,5}-0,5|.

Доказательство: {{х}} = |х - (х)| = |х - [х + 0,5]| = |х - (х + 0,5 - {х + 0,5})| = |{х + 0,5} -0,5|, что и требовалось доказать

3 Найти наименьшее положительное число х, для которого [х]{х}>3.

Решение: [х] 3/{х}, О.Д.З.:{х} 0 => x Z т.к.{х} = 0. 3/{х}: если {х} 1, то 3/{х} 3, значит [х] 3, но т, к. необходимо найти min х, при котором выполняется условие, то 3[х]<5 если 3 [х] [х] = /{х}, (4{х}-3)/{х}0; (4{х}-3){х}0; {х} 0

По свойству дробной части числа: 0{х}<1, 0{х}<1, 4{х}-30; 0{х}<1, {х} 0,75; т.к. надо найти min x, то min х = [х] + min {x} min x= =4.75. Ответ : min x= 4,75

4 На какую степень числа 2 делится 1000! ?

Решение: Среди чисел 1,2,...,1000 имеется: 1000/2 = 500 чисел, делящихся на 2, 1000/4 = 250 чисел, делящихся на 4, 1000/ 8 = 125 чисел, делящихся на 8, [1000/16] = 62 числа, делящегося на 16, [1000/32] = 31 число, делящееся на 32,

[1000/64] = 15 чисел, делящихся на 64, [1000/128] = 7 чисел, делящихся на 128, [1000/256] = 3 числа, делящегося на 256, [1000/512] = 1 число, делящееся на 512. Отсюда следует, что в произведение 1000! Входит = 994 двойки, т. е. 1000! делится на и не делится на Ответ: 994.

5. 5. Решить уравнение, где [а] наибольшее целое, не превосходящее а (антье).

Решение. «Раскроем квадратные скобки» (знак целой части числа) с помощью равенства [x] = n: n =

Уравнение системы при любом п Z имеет единственны корень. Он будет решением системы только тогда, когда справедливо неравенство или 1 или 1

Итак, исходное уравнение имеет два корня: x 0 = и x 1 = Ответ: x 0 =,x 1 =

6. 6. Найти все решения уравнения [х 2 ] = [х] 2.

Решение. «Раскроем квадратные скобки» (знак целой части числа) в правой части уравнения с помощью равенства : (1) (1) 22 nx

Уравнение системы при любом n Z равносильно двойному неравенству п 2 х 2 < п (2) Вид решения этого неравенства зависит от знака числа п. Если п 0, то решением неравенства (2) будет объединение двух промежутков: и

Пересекая это множество с множеством решений неравенства системы (1), мы получим промежуток (при этом мы используем тот факт, что при всех п > 0 справедливо неравенство ) (при этом мы используем тот факт, что при всех п > 0 справедливо неравенство )

Если п < 0, то решением неравенства (2) будет объединение двух промежутков: и Пересекая это множество с множеством решений неравенства системы (1), мы получим множество, состоящее из точек х = п.

Ответ : где n = 0, 1, …; x = -1 -2, -3, …

Спасибо за внимание ! ! !