Алгебра, 9 класс

Цель урока : сформировать у учащихся понятие геометрической прогрессии и научиться применять формулы Г. П. к решению практических задач. Изучить геометрическую прогрессию с помощью примеров Вывести формулы для вычислений данных Г. П. Рассмотреть решение задач на нахождения членов прогрессии Научиться применять формулы Г. П. к решению практических задач.

Содержание Определение геометрической прогрессии Знаменатель геометрической прогрессии Примеры задания Г. П. Формула n-го члена Г. П. Формула n-го члена Г. П. Решение задач : задача 1 задача 2 задача 3 задача 4 Итог урока

Пример геометрической прогрессии Каждый член этой последовательности, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на 2. Эта последовательность является примером геометрической прогрессии. Рассмотрим последовательность, членами которой являются степени числа 2 с натуральными показателями: 2, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5,....

Определение геометрической прогрессии Определение. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Иначе говоря, (b n ) - геометрическая последовательность, b n 0 и q - некоторое число, то b n+1 =b n q.

В нашей последовательности степеней числа 2 q =2 и b n+1 =b n 2. Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q. b n+1 /b n = q Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.

Примеры задания геометрической прогрессии 1. Если b 1 = 1 и q = 0,1, то получим геометрическую прогрессию 1; 0,1; 0,01; 0,001; Если b 1 = - 5 и q = 2, то геометрическая прогрессия получится следующая -5; -10; -20; -40;...

Формула n-го члена геометрической прогрессии Зная первый член и знаменатель Г.П., можно найти любой член последовательности: Мы получили формулу n-го члена геометрической прогрессии. b 2 = b 1 q b 3 = b 2 q = b 1 q 2 b 4 = b 3 q = b 1 q 3 b 5 = b 4 q = b 1 q 4... b n =b 1 q n-1 (*)

Решение задач Задача 1 В геометрической прогрессии b 1 =12,8 и q=1/4. Найдите b 7. Решение: b 7 =b 1q 6 =12,8(1/4) 6 = 128 / = = 2 7 / = 1/320.

Задача 2 Найдем восьмой член геометрической прогрессии (b n ), если b 1 =162 и b 3 =18. Решение : используя формулу (*), найдем знаменатель q.(*) Так как b 3 =b 1q 2, то q 2 =b 3 / b 1 =18 / 162=1/9. Решив уравнение q 2 = 1/9, получим q = ±1/3. Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи. Если q = 1/3, то b 8 =b 1q 7 =2/27. Если q = -1/3, то b 8 = -2/27. Задача имеет два решения: b 8 = 2/27 и b 8 = -2/27.

Задача 3 После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нем воздуха. Определим давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, если первоначально давление было 760 мм рт. ст.

Решение : так как после каждого движения поршня в сосуде остается 80% воздуха. Чтобы узнать давление воздуха в сосуде после очередного движения поршня, нужно давление после предыдущего движения поршня умножить на 0,8. Мы имеем Г.П.- (bn), b n = 760, а q = 0,8. Число, выражающее давление воздуха в сосуде после шести движений поршня, является седьмым членом этой прогрессии : b 7 = 760(0,8) (мм рт. ст.).

Задача 4 Решение : 10% = 0,1. Коэффициент увеличения вклада равен 1,1. Имеем геометрическую прогрессию (с n ). с 1 = 1000 р., q = 1,1. с 4 – вклад через три года. Следовательно, с 4 = с 1. q 3 = (1,1) 3 = Через три года вклад будет равен 1331 р. Срочный вклад 1000 р., положенный в банк, ежегодно увеличивается на 10%. Каким станет вклад через 3 года?

Итак, на этом уроке вы познакомились с одним из видов числовых последовательностей. Чтобы закрепить новые понятия, выполните задания. Ответы и решение напишите на листке бумаги и сдайте учителю.

Задания : Закончите фразу : 1. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел В геометрической прогрессии число q называется q можно найти по формуле Формула нахождения n-го члена Г. П. такова.....

Решите самостоятельно 1 Найдите первые пять членов Г. П. - (b n ), если b 1 = 6, q = 2. 2 Последовательность ( x n ) – Г. П., x 1 = 16, q = 1/2. Найдите седьмой член прогрессии. 3 Срочный вклад, положенный в банк, ежегодно увеличивается на 20%. Каким станет вклад через 3 года, если вначале он был равен 800 р.?