Презентация к работе учащихся 10 «А» класса Артюшиной Т., Иванченко А., Сениной А., Слепцовой К.. Предмет: математика

Создать пособие, в котором будут собраны примеры решения уравнений и неравенств нестандартными методами.

Исследовать научную литературу по данной теме. Подобрать примеры, в которых используются нестандартные методы решения. Полученный опыт представить в виде обучающего пособия.

Геометрия помогает алгебре. Свойства функции. Вектора помогают алгебре. Тригонометрия помогает алгебре.

В последнее время на вступительных экзаменах в различные ВУЗы довольно широкое распространение получили уравнения и неравенства, которые эффективно решаются с помощью геометрических средств.

Пример решения. Решить систему уравнений: Решить систему уравнений: MA= ; MB=; 2 x 5; 4 y 8; Ответ: (3,5; 6). AB==5,

Пример решения. Докажите, что (x+y)(x+z) 2, если x>0, y>0, z>0 и xyz(x+y+z)=1. Докажите, что (x+y)(x+z) 2, если x>0, y>0, z>0 и xyz(x+y+z)=1.Решение: нужно доказать, что cb2 ; x+y+z=p ; с+z=p; y+b=p; x+a=p; z=p-c; y=p-b; x=p-a; так как xyz(x+y+z)=1, то (p-a)(p-b)( p-c)p=1; т.е. SΔАВС=1, с другой стороны SΔАВС= AB*AC*sinA; 1= (x+y)(x+z)sinA; (x+y)(x+z)sinA=2; а так как sinA1 (-1sinA1), то (x+y)(x+z) 2

Пример решения. Докажите, что для любых x, y,z, удовлетворяющих уравнению выполняется неравенство: Длина ломанной ABCD равна Так как AD²=AE²+ED²=(x²+y²+z²)²+9=10; AD= ; Но длина ломанной ABCD AD, значит

Использование ОДЗ (области допустимых значений) Знание ОДЗ позволяет доказать, уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения (или неравенства) непосредственно подставлением чисел из ОДЗ.

Решить уравнение:

Решить уравнение:

Решить уравнение:

В практике встречаются громоздкие примеры, которые, при помощи векторов, можно решить быстро и их решение будет довольно коротким. Следует использовать некоторые формулы: В практике встречаются громоздкие примеры, которые, при помощи векторов, можно решить быстро и их решение будет довольно коротким. Следует использовать некоторые формулы: ;

2. Числа a, b, c,d удовлетворяют условиям a 2 +b 2 =1, c 2 +d 2 =1. Доказать, что 2. Числа a, b, c,d удовлетворяют условиям a 2 +b 2 =1, c 2 +d 2 =1. Доказать, что Вспомним формулу Тогда пусть векторы и такие, что Отметим, что Следовательно, получаем, что Что и требовалось доказать. РЕШЕНИЕ

А B C - единичные векторы, коллинеарные сторонам АBC. 3. Докажите неравенство cosA+cosB+cosC где A, B, C – углы треугольника. РЕШЕНИЕ.

Если в уравнение входит радикал, то можно сделать замену х = а sin t или х = а cos t Если в уравнение входит радикал, то можно сделать замену х = а sin t или х = а cos t Если в уравнение входит радикал, то можно сделать замену х = а tg t Если в уравнение входит радикал, то можно сделать замену х = а tg t Если в уравнение входит радикал,то можно сделать замену х = Если в уравнение входит радикал,то можно сделать замену х =

Решите уравнение: = 4cos t – 3cos t = 4cos t – 3cos t sin t = 4cos sin t = cos 3t cos 3t - sin t =0 cos 3t – cos( ) = 0 - 2sin = 0 sin (2t - ) = 0 или sin (t+ ) = 0 Ответ: x = cos, x = cos, x = t – 3cos t

Решить уравнение: sin2t = -1 или sin2t = Ответ: x ; x

8x(2x x = cos t, Ответ:

подробно изучили нестандартные методы решения уравнений и неравенств; научились решать примеры, используя данные методы; создали пособие, где собраны задания, которые эффективно решаются с помощью нестандартных методов.

А.Г.Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С.Якир «Неожиданный шаг или 113 красивых задач» Киев, Агрофирма «Александрия» 1993 г. А.Г.Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С.Якир «Неожиданный шаг или 113 красивых задач» Киев, Агрофирма «Александрия» 1993 г. С.А.Шестаков, Е.В.Юрченко «Уравнения с параметрами» Издательство СЛОГ, Москва 1993 г. С.А.Шестаков, Е.В.Юрченко «Уравнения с параметрами» Издательство СЛОГ, Москва 1993 г. С.Н.Олехник, М.К.Потанов, П.И.Пасиченко «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств», справочник, Москва, Издательство МГУ 1991 г. С.Н.Олехник, М.К.Потанов, П.И.Пасиченко «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств», справочник, Москва, Издательство МГУ 1991 г. С.Л.Евсюк «Математика. Решение задач повышенной сложности» Минск, «Мисанта» 2003 г. С.Л.Евсюк «Математика. Решение задач повышенной сложности» Минск, «Мисанта» 2003 г.