Основы логики Формы мышления. Алгебра высказываний. Логические выражения. Таблицы истинности. 11 класс Урок 33

Предмет логики Первые учения о формах и способах рассуждений появились одновременно с потребностью обучению детей счёту в странах Древнего Востока (Китай, Индия). Уже тогда было замечено, что ученики легче справляются с заданиями, наполненными конкретикой, чем с формализованными задачами. Основы формальной логики заложил Аристотель, который впервые отделил логические формы мышления от его содержания. Определение 1. Логика – это наука о формах и способах мышления. Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны.

Формы мышления. Понятие. Мышление всегда осуществляется в определенных формах. Основными формами мышления являются понятие, высказывание, умозаключение. Определение 2. Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта. Пример 1. Четырехугольник, у которого все стороны равны называется … Пример 2. Естественный водоем, окруженный сушей называется … Понятие имеет три стороны: содержание, объем и актуальность. Содержание – совокупность необходимых и достаточных признаков для выделения определяемого объекта из множества других объектов. Пример 3. Сливин Андрей - ученик 11 класса Логовской школы Первомайского района Алтайского края. Объем – совокупность предметов на которые это понятие распространяется. Пример 4. Понятие ромба (пример 1) распространяется на бесконечное число различных ромбов. Понятие из примера 3 описывает единственный уникальный объект. Понятие «Персональный компьютер – это универсальное электронное устройство для автоматической обработки информации, предназначенное для одного пользователя» распространяется на конечное число персональных компьютеров. Актуальность – время, в течение которого это понятие истинно. Пример 5. Понятие ромба (пример 1) будет актуально вечно. Понятие из примера 3 будет актуально до первого изменения какого либо признака.

Формы мышления. Высказывание. Свое понимание окружающего мира человек формулирует в форме высказываний (суждений, утверждений). Определение 3. Высказывание – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах предметов, не отраженных в понятиях, об отношениях между предметами. Высказывание по форме всегда повествовательное предложение. Высказывание может быть истинным или ложным. Понятие истинности всегда относительно. Пример 1. Диагонали ромба равны (истина). У коровы пять хвостов (ложь). Земля стоит на трех китах (для русского человека X века это «истина», для учеников 10 класса это «ложь». Одни и те же высказывания могут быть выражены как естественными языками (русским, чукотским, английским), так и формальными (например, математическим, эсперанто, физическим). Пример 2. «Два умножить на три равно шести» и 2*3=6. «Результирующая сила равна произведению массы на ускорение» и F=ma. Высказывания в форме простого повествовательного предложения называются простыми. Высказывания в форме сложного повествовательного предложения, части которого связаны союзами «И» и «ИЛИ» называются сложными. Пример 3. Четырехугольник с равными диагоналями имеет равные стороны и площадь его равна половине произведения диагоналей. Истинность или ложность простых высказываний устанавливается в результате соглашения на основе здравого смысла. Истинность или ложность составных высказываний вычисляется с помощью алгебры высказываний.

Формы мышления. Умозаключение. Определение 4. Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких высказываний (суждений) может быть получено новое умозаключение (новое знание). Умозаключение может быть истинным и ложным. Если исходные высказывания были истинными и умозаключение сделано по законам формальной логики, то и умозаключение будет истинным. При нарушении логики в сочинениях школьников появляются ложные высказывания. Например: 1) Во двор въехали две лошади, это были сыновья Тараса Бульбы. 2) Герасим поставил на пол блюдечко и стал тыкать в него мордочкой. 3) Вронский упрекал себя, что совершил самоубийство. Схема построения науки: факты – понятия – высказывания (суждения) – умозаключения.

Алгебра высказываний Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность высказываний, не вникая в их содержание. В алгебре высказываний суждения (простые высказывания) обозначаются именами логических переменных (прописными буквами латинского алфавита А,В, и т.д.), которые могут принимать лишь два значения: «истина» (1) и «ложь» (2). Для образования новых высказываний (умозаключений) используются логические операции, выраженные с помощью логических связок «И» (логическое умножение – конъюнкция), «ИЛИ» (логическое сложение – дизъюнкция) и «НЕ» (логическое отрицание – инверсия) и др. На основе операций можно составить логические функции: F = A & B (дизъюнкция) F = A B (конъюнкция) F = Ã (инверсия)

Таблицы истинности АBF = A & B АB F = A B AF = Ã 01 10

Пример вычисления истинности высказывания Дано: А=1 (и), B=0 (л) Вычислить: (A & B) (Ã & B)

Логические выражения. Таблица истинности логического выражения. Определение 1. Составное высказывание, записанное с помощью логических переменных и знаков логических операций, называется логическим выражением. Пример 1: (А В)&(Ã B) Для каждого логического высказывания можно построить таблицу истинности. Если количество переменных равно n, то количество строк в таблице равно 2 n (для примера 1 количество строк в таблице равно 4). Количество столбцов в таблице равно количеству операций (для примера 1 количества столбцов равно 4). АВ А В Ã Ã B(А В)&(Ã B)

Равносильные логические выражения. Определение 2. Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают, называются равносильными. Для обозначения равносильных логических выражений используется знак «=». Задача. Докажите равносильность выражений А&В и А В.

Логические функции. Любое составное высказывание (логическое выражение) можно рассматривать как логическую функцию, аргументами которой являются простые высказывания (переменные), а значениями «истина» (1) и «ложь» (0). Число N логических функций зависит от числа n аргументов. N=n t Где t –число сочетаний значений аргументов. Для двух аргументов А и В существует 4 возможных сочетания значений аргументов: (0,0), (0,1), (1,0) и (1,1). Следовательно N=16. Для трех аргументов А, В и С существует 8 возможных сочетаний значений аргументов: (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0) и (1,1,1). Следовательно, N= Для четырех аргументов A, B, C и D существует 16 возможных сочетаний аргументов. Следовательно, N=4 16 функций.

Логические функции двух аргументов. Таблица истинности логической функции двух аргументов. Аргу- менты Логические функции АВF1F1 F2F2 F3F3 F4F4 F5F5 F6F6 F7F7 F8F8 F9F9 F 10 F 11 F 12 F 13 F 14 F 15 F Конъюнкция (А & В) Дизъюнкция (А В) Эквивалентность(А ~ В) Инверсия для В (В) Инверсия для А (А) Импликация (А В)

Логическое следование (импликация). Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если …, то…». Обозначение: (А В). Итоговый столбец таблицы истинности операции «импликация» соответствует столбцу F 14 В виде импликаций формулируется большинство научных гипотез. Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования, ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки (А=1) делается ложный вывод (В=0). Во всех остальных случаях оно истинно (даже, если предпосылка ложна, то вывод истинен, так как из неверной посылки может следовать все что угодно). Пример 1. Если число делится на 10, то оно делится на 5. Пример 2. Если оборвать цветки у цветущего картофеля, то урожайность повыситься. Пример 3. Если на тело не действуют никакие силы, то оно находится в состоянии прямолинейного равномерного движения. Пример 4. Если х = 3 и у = 4, то х*у = 12.

Логическое равенство (эквивалентность). Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «… тогда и только тогда, когда…». Обозначение: (А~В). Итоговый столбец таблицы истинности операции «эквивалентность» соответствует столбцу F 10 Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности, истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны. Пример 1. Сумма цифр числа делится на три тогда и только тогда, когда само число делится на 3. Пример 2. Аттестат о среднем образовании выпускник Логовской школы получит тогда и только тогда, когда он получит по всем предметам положительную итоговую оценку.

Решение логических задач 1. Постройте таблицу истинности выражений: (А В)&((А&В) B); ((А&В) (А В))&B; (А&В) (А В)&B; (А В)&С. 2. Заполните первую строку таблицы истинности: АВ????

Решение логических задач