Определение экстремума функции Необходимое условие локального экстремума Достаточное условие локального экстремума Пример Условный экстремум Вывод уравнений.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Определение экстремума функции Необходимое условие локального экстремума Достаточное условие локального экстремума Пример Условный экстремум Вывод уравнений.
Advertisements

Как и в случае функции одной переменной, функция z=f(x,y) имеет узловые, определяющие график функции, точки. Определим точки экстремума для функции двух.
Лектор Янущик О.В г. Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Экстремумы ФНП. Условные экстремумы ФНП.
{ определение экстремума – необходимое и достаточные условия существования экстремума – глобальный экстремум – примеры }
Полный дифференциал функции нескольких переменных Лекция 2.
Точка х 0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х 0 выполняется неравенство.
Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 1 Определение. Касательной плоскостью Т к поверхности S в точке M 0 называется.
Достаточный признак возрастания функции. Если f '( х )>0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на этом интервале. Достаточный признак убывания.
[ частные приращения функции - частные производные функции двух переменных - дифференцирование в заданном направлении - градиент функции - уравнения касательной.
Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 1 Формула Тейлора порядка n Теорема. Если функция u=f(x 1, x 2, …x n )
Решение задач В11. Необходимое условие точки экстремума. Теорема. В точке экстремума производная функции либо равна нулю, либо не существует. Если функция.
Приложения производной Функции нескольких переменных.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Скалярное поле и его характеристики.
Применение производных Лекция 6. Содержание 1.Теоремы о дифференцируемых функциях. 2. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. 3.Убывание и возрастание.
Презентация к уроку по алгебре (11 класс) по теме: Экстремумы функции
Экстремумы функции одного переменного Пусть X – область определения функции y = f(x) и точка x 0 X. Определение 1. Число М называется локальным максимумом.
Теоремы о производных суммы, произведения и частного, их следствия и обобщения. Связь непрерывности и дифференцируемости функций.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ И НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ.. Определенный интеграл. Определенным интегралом функции y=f(x) на [a,b] называется, если этот предел существует.
Определенный интеграл продолжение. План лекции: I.Замена переменной в определенном интеграле. II.Приложения определенного интеграла. III.Функции нескольких.
Критические точки функции Точки экстремумов Алгебра-10.
Транксрипт:

Определение экстремума функции Необходимое условие локального экстремума Достаточное условие локального экстремума Пример Условный экстремум Вывод уравнений Лагранжа Пример

Точка P 0 называется точкой экстремума - локального максимума (минимума) функции f(P), если в окрестности U( P 0 ) функция f(P) определена и Необходимое условие экстремума P 0 (x 0,y 0 ) – критическая точка Пусть P 0 точка экстремума функции f(P). Тогда частные производные функции f либо не существует, либо равны нулю. f(x,y) – функция двух переменных Максимум f ( P0 )f ( P0 ) P0P0

Достаточное условие экстремума Пусть и, а вторые частные производные функции f непрерывны в некоторой окрестности точки (x 0,y 0 ). Введем: Тогда, если D < 0, то в точке (x 0,y 0 ) экстремума нет. Если D > 0, то в точке (x 0,y 0 ) есть экстремум, причем если, то минимум, а если A < 0, то максимум. Если D = 0, то экстремум может быть, а может и не быть. В этом случае требуются дополнительные исследования. f ( P0 )f ( P0 ) x y z

@ Найти локальный экстремум для функции Решение z x 0 y

Задачу исследования функции на условный экстремум при ограничениях, заданных с помощью функций записывают в виде и называют задачей на условный экстремум. Для случая функции двух переменных: x y z Пример: Уравнение связи. Целевая функция.

Для случая функции двух переменных заданное условие определяет уравнение линии h(x,y) = 0. h(x,y) = 0 Производная неявной функции y(x), входящей в уравнение h(x,y) = 0 : Градиент к кривой h(x,y) : T grad h Скалярное произведение : При движении вдоль кривой : T grad f - grad f Только в точке условного экстремума Следовательно векторы grad f и grad h должны быть коллинеарными :

Для случая функции двух переменных функция Лагранжа имеет вид : Система необходимых уравнений :

@ Решение Найти условный экстремум:, x y 0

@ Решение Задача Кеплера. Найти размеры цилиндра наибольшего объема, вписанного в шар. Найти отношение величины объема шара к величине объема цилиндра. 0 R 2x d