ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» МНОГОПРОФИЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ Загадочный мир фракталов Выполнил студент 1 курса группа АТПт Серёдкин Юрий Евгеньевич Руководитель: Муштенко Татьяна Петровна Тюмень, 2018

Содержание 1. История возникновения фракталов 2. Классификация фракталов и примеры 3. Практическое применение в жизни 4. Заключение 5. Используемая литература

История фракталов С выходом книги Мандельброта «Фрактальная геометрия природы» (The Fractal Geometry of Nature'.) в 1977 году связывают рождение фрактальной геометрии. В ней применены научные результаты учёных, среди н их Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф, работавших в период гг. в той же области. И только в наше время удалось объединить в единую систему эти работы. Фрактальная геометрия является революцией в математике и математическом описании природы.

История фракталов Понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия» появились в х годах XX века. Они устойчиво закрепились в употреблении математиков и программистов. Слово «фрактал», что в переводе с латинского означает разбитый, поделённый на части, было предложено Бенуа Мандельбротом,французским математиком, в 1975 году, с целью обозначения нерегулярных сам подобных структур.

Понятие фрактала Фрактал это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.

Бенуа Мандельброт Слово «фрактал», что в переводе с латинского означает разбитый, поделённый на части, было предложено Бенуа Мандельбротом, французским математиком, в 1975 году, с целью обозначения нерегулярных самподобных структур.

Классификация

Алгебраические фракталы

В качестве примера рассмотрим множество Мандельброта. Алгоритм его построения достаточно прост и основан на простом итеративном выражении: Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C, где Zi и C - комплексные переменные.

Итерации выполняются для каждой стартовой точки с прямоугольной или квадратной области - подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока Z[i] не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке (0,0), (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например ) Z[i] сойдется к какой-нибудь точке окружности. Множество Мандельброта

Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается геометрический фрактал. Геометрические фракталы

Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триодную кривую Кох. Построение кривой начинается с отрезка единичной длины - это 0-е поколение кривой Кох. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. При n стремящемся к бесконечности кривая Кох становится фрактальным объектом Построение триадной кривой Кох Снежинка Коха

Для получения "дракона" Хартера-Хейтуэя нужно изменить правила построения. Пусть образующим элементом будут два равных отрезка, соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменим единичный отрезок на этот образующий элемент так, чтобы угол был сверху. Построение дракона Хартера-Хейтуэя.

В машинной графике использование геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов, береговой линии. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур. Фрактальное дерево

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Стохастические фракталы Они получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д.

Сам по себе человеческий организм состоит из множества фракталподобных структур: кровеносная система, мышцы, бронхи и т.д. Фракталы в медицине

Заключение Знакомясь с историей возникновения фракталов, мы узнали, что учёные ещё в 19 веке заинтересовались данной темой, и только в 70-е годы прошлого столетия появилось понятие фрактал и фрактальная геометрия. В наши дни практическое применение фракталов стало незаменимым во многих областях науки и техники.