Тема: Ученые о функции В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии. Н.Е.Жуковский( )

Декарт Рене ( гг.) Ферма Пьер ( гг.) Ньютон Исаак ( гг.) Лейбниц Готфрид Вильгельм ( гг.) Бернулли Иоганн ( гг.) Эйлер Леонард ( гг.) Даламбер Жан Лерон ( гг.) Фурье Жан Батист Жозеф ( гг.) Больцано Бернард ( гг.) Лобачевский Николай Иванович ( гг.) Дирихле Петер Густав Лежен ( гг.) Дирак Поль Адриен Морис ( гг.) Соболев Сергей Львович (род. в 1908г.) Развитие понятия «функция»

Декарт Рене ( гг.) Французский философ, математик, физик. Он является одним из основоположников аналитической геометрии. В его главном математическом труде Геометрия (1637) впервые введено понятие переменной величины, создан метод координат (декартовы координаты), введены общепринятые теперь значки для переменных величин (x,y,z,...) буквенных коэффициентов (a,b,c,...), степеней (x 3, a 5,...). Декарт положил начало ряду исследований свойств уравнений; сформулировал правило знаков для определения числа положительных и отрицательных корней (правило Декарта); поставил вопрос о границах действительных корней и выдвинул проблему приводимости (представления целой рациональной функции с рациональными коэффициентами в виде произведения двух функций такого же рода); указал, что уравнение третьей степени разрешимо в квадратных радикалах и его корни находятся с помощью циркуля и линейки, когда оно приводимо.

Ферма Пьер ( гг.) Французский математик. Получил важные результаты в теории чисел, алгебре, геометрии, теории вероятности. Автор ряда выдающихся работ. Ферма является одним из создателей теории чисел, с его именем связаны великая и малая теоремы Ферма. Вместе с Декартом является основоположником аналитической геометрии. В области метода бесконечно малых дал общее правило дифференцирования степенной функции, которое распространил на любые рациональные показатели.

Ньютон Исаак ( гг.) Английский физик, математик, механик и астроном. Одновременно с Лейбницем, но независимо от него, разработал дифференциальное и интегральное исчисления. Создавая математику непрерывных процессов, Ньютон в основу понятия флюксии (производной) и флюенты (интеграла). В работе Анализ при помощи уравнений с бесконечным числом членов (1669, опубл.1711) дан метод вычислений и вычислений функций - приближение бесконечными рядами, который имел впоследствии огромное значение для всего анализа и его приложений. В этом же труде изложен метод численного решения алгебраических (метод Ньютона). Наиболее полное изложение дифференциального и интегрального исчисления содержится в трактате Метод флюксий и бесконечных рядов ( , опубл.1736), в котором в механических и математических выражениях сформулированы обе взаимно обратные задачи анализа, применен метод флюксий, ко многим геометрическим задач, решены задачи интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений путем представления решения в виде бесконечного степенного ряда, дана формула (бином Ньютона) для любого действительного показателя.

Лейбниц Готфрид Вильгельм ( гг.) Немецкий математик, физик, философ, изобретатель, историк, языковед. В математике его важнейшей заслугой является разработка (наряду с Ньютоном) дифференциального и интегрального исчисления. Дал определения дифференциала и интеграла, разработал правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного любой постоянной степени, дал определения экстремальных точек и точек перегиба, установил взаимно обратный характер основных операций анализа - дифференцирования и интегрирования. Заложил основы теории рядов и теории дифференциальных уравнений. Им предложены математические символы и термины, вошедшие во всеобщее применение - функция, дифференциал, дифференциальные уравнения, алгоритм, координаты, алгебраические и трансцендентные кривые, модель и др. Изобрел счетную машину и первый интегрирующий механизм, предвосхитил некоторые идеи матлогики, изложил начала теории определителей.

Бернулли Иоганн ( гг.) Швейцарский математик. Был сотрудником Лейбница в разработке дифференциального и интегрального исчислений, в области которых им был сделан ряд открытий. Дал первое систематическое изложение дифференциального и интегрального исчислений, продвинул разработку методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, поставил классическую задачу о геодезических линиях и нашел характерное геометрическое свойство этих линий, а позднее вывел их дифференциальное уравнение.

Эйлер Леонард ( гг.) Математик, физик, механик, астроном. Родился в Швейцарии. Более 30 лет работал в Петербургской АН. Список его трудов содержит около 850 названий, в их числе несколько многотомных монографий по всем основным разделам современной ему математике и ее приложениям. Заложил основы нескольких математических дисциплин. Первый систематически ввел в рассмотрение функции комплексного переменного, вывел (1743) формулы, связывающие тригонометрические функции с показательными. Эйлер создал, как самостоятельную дисциплину, теорию обыкновенных дифференциальных уравнений, и заложил основы теории уравнений с частными производными. Его имя носят подстановки Эйлера (1768) при замене переменных в специальных интегралах, Эйлеровы интегралы (1731), метод ломаных Эйлера (1768) в численном решении обыкновенного дифференциального уравнения, Эйлеровы углы (1748) в преобразовании координат, функция и теорема Эйлера (1763) в теории чисел, прямая Эйлера (1765) в треугольнике, теорема Эйлера для выпуклого многогранника (1758), Эйлерова характеристика многообразия, задача Эйлера о Кенигсбергских мостах (1736).

Даламбер Жан Лерон ( гг.) Французский математик, механик философ. Основные математические исследования относятся к теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Дал (1748) метод решения дифференциального уравнения второго порядка с частными производными, выражающего малые колебания бесконечной однородной струны (волнового уравнения), в виде суммы двух произвольных функций. Ему принадлежат также важные результаты в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений первого и второго порядков. В теории рядов его имя носит широко употребительный достаточный признак сходимости. В алгебре дал первое (не вполне строгое) доказательство основной теоремы о существовании корня у алгебраического уравнения. Много труда вложил в Энциклопедию наук, искусств, ремесел, для которой он написал всю физико-математическую часть.

Фурье Жан Батист Жозеф ( гг.) Французский математик. В труде Аналитическая теория тепла (1822г.) вывел дифференциальное уравнение теплопроводности и разработал метод его интегрирования при различных граничных условиях. В основе его метода лежит представление функции тригонометрическими рядами (рядами Фурье). Привел первый пример разложения в тригонометрические ряды функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями. Развил предложенный Даламбером для решения волнового уравнения метод разделения (метод Фурье) переменных для изучения задач о колебаниях струны и теплопроводности стержня.

Больцано Бернард ( гг.) Чешский математик, философ, теолог. Первым (1817) выдвинул идею арифметической теории действительного числа. В его сочинениях можно найти ряд фундаментальных понятий и теорем анализа, обычно связываемых с более поздними исследованиями других математиков. В Парадоксах бесконечного (изд.1851) Больцано явился предшественником Кантора в исследовании бесконечных множеств.

Лобачевский Николай Иванович ( гг.) Русский математик. Создатель (1826) неевклидовой геометрии. Дал (1834) метод приближенного решения алгебраических уравнений высших степеней; внес значительный вклад в теорию определителей. В области анализа Лобачевский получил новые результаты в теории тригонометрических рядов. Им же установлен один из наиболее удобных методов приближенного решения уравнений (метод Лобачевского). В 1834 году в работе «Об исчезании тригонометрических строк» Н.И.Лобачевский, развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции в 1755г., писал: «Общее понятие требует, чтобы функцией от x называть число, которое дается для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано и аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать, или оставаться неизвестной... Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе».

Дирихле Петер Густав Лежен ( гг.) Немецкий математик. Основные труды по теории чисел и математическому анализу. Впервые точно сформулировал и исследовал понятие условной сходимости ряда (так называемый признак Дирихле), дал (1829) строгое доказательство возможности разложения в ряд Фурье функций, имеющей конечное число максимумов и минимумов.

Дирак Поль Адриен Морис ( гг.) Английский физик- теоретик, один из основателей квантовой механики. Основные труды в математике по функциональному анализу и математической физике (уравнение Дирака, дельта- функция Дирака, статистика Ферми-Дирака). Нобелевская премия (1933).

Соболев Сергей Львович Советский математик. Основные труды по теории уравнений с частными производными, математической физике, функциональному анализу и вычислительной математике. Предложил новый метод решения гиперболических уравнений с частными производными, совместно со Смирновым В.И. разработал метод функционально-инвариантных решений для динамических колебаний слоистых сред. Им начато систематическое применения функционального анализа в теории уравнений с частными производными. Им же введен класс функциональных пространств и исследовано соотношение вложения для пространств. Ввел понятие обобщенного решения уравнения с частными производными и дал первое (1935) строгое определение обобщенной функции; с помощью этих понятий рассмотрел некоторые краевые задачи для уравнения с частными производными. В области вычислительной математики Соболев ввел понятие замыкаемых вычислительных алгоритмов, дал точную оценку норм погрешности кубатурных формул.

Развитие понятия «функция» с древнейших времен до 17 века Введение понятия функции через механическое и геометрическое представления (17 век.)Введение понятия функции через механическое и геометрическое представления (17 век.) Аналитическое определение функции (17 - начало 19 века). Аналитическое определение функции (17 - начало 19 века). Идея соответствия (19 век). Дальнейшее развитие понятия функции (20 век -...). Дальнейшее развитие понятия функции (20 век -...).

С древнейших времен до 17 века Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r 2. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.

Введение понятия функции через механическое и геометрическое представления (17 век.) Начиная лишь с 17 века, в связи с проникновением в математику идеи переменных, понятие функции явно и вполне сознательно применяется. Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных - последними буквами латинского алфавита - x, y, z, известных - начальными буквами того же алфавита - a, b, c,... и т.д. Под каждой буквой стало возможным понимать не только конкретные данные, но и многие другие; в математику пришла идея изменения. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.

Введение понятия функции через механическое и геометрическое представления (17 век.) Кроме того, у Декарта и Ферма ( ) в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат. В своей Геометрии в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы; он систематически рассматривал лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения - формулы. В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени (называл в флюентой). В Геометрии Декарта и работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых - функция от абсцисс (x); путь и скорость - функция от времени (t) и т.п.

Аналитическое определение функции (17 - начало 19 века). Само слово функция (от латинского functio -совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673г. в письме к Гюйгенсу (под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону), в печати ввел с 1694 года. Начиная с 1698 года, Лейбниц ввел также термины переменная и константа. В 18 веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Это так называемая аналитическая точка зрения на понятие функции. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли ( ), который в 1718 году определил функцию следующим образом: функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способ из этой переменной величины и постоянных. Для обозначения произвольной функции от x Бернулли применил знак j (x), называя характеристикой функции, а также буквы x или e ; Лейбниц употреблял x 1, x 2 вместо современных f 1 (x), f 2 (x). Эйлер обозначил через f : y, f: (x + y) то, что мы ныне обозначаем через f(x), f(x+y). Наряду с e Эйлер предлагает использовать буквы F, Y и другие. Даламбер сделал шаг вперед на пути к современным обозначениям, отбрасывая двоеточие Эйлера; он пишет, например, j t, j (t+s). Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер (во Введении в анализ бесконечного): Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств. Так понимали функцию на протяжении почти всего 18 века Даламбер ( ), Лагранж ( ), Фурье ( ) и другие видные математики. Что касается Эйлера, то он не всегда придерживался выше указанного определения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математического анализа.

Аналитическое определение функции (17 - начало 19 века). В Дифференциальном исчислении, вышедшем в свет в 1755 году, Эйлер дает общее определение функции: Когда некоторые количества зависят друг от друга таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функцией вторых. Это наименование, - продолжает далее Эйлер - имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество определяется с помощью других. Как видно из определенных определений, само понятие функции фактически отождествлялось с аналитическим выражением. Новые шаги в развитии естествознания и математики вызвали и дальнейшее обобщение понятия функции. Одним из нерешенных вопросов, связанных с понятием функции, по поводу которого велась ожесточенная борьба мнений, был следующий: можно ли одну функцию задать несколькими аналитическими выражениями? Большой вклад в разрешение спора Эйлера, Даламбера, Бернулли и других ученых 18 века по поводу того, что стоит понимать под функцией, внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье ( ), занимавшийся в основном математической физикой. В представляемых им в Парижскую АН в гг. Мемуарах по теории распространения тепла в твердом теле, Фурье привел и первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями. Из трудов Фурье следовало, что любая кривая независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она состоит, может быть представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением. В своем Курсе алгебраического анализа, опубликованном в 1721г., французский математик О.Коши обосновал выводы Фурье. Таким образом, на известном этапе развития физики и математики стало ясно, что приходится пользоваться и такими функциями, для определения которых очень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическим аппаратом. Последний стал тормозить требуемое математикой и естествознанием расширение понятия функции.

Идея соответствия (19 век). В 1834 году в работе Об исчезании тригонометрических строк Н.И.Лобачевский, развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции в 1755г., писал: Общее понятие требует, чтобы функцией от x называть число, которое дается для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано и аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать, или оставаться неизвестной... Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе. Еще до Лобачевского аналогичная точка зрения на понятие функции была высказана чешским математиком Б. Больцано. Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминании об аналитическом задании, обычно приписываемое Дирихле, неоднократно предлагалось и до него. В 1837 году немецкий математик П.Л. Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: y есть функция переменной x (на отрезке a £ x £ b), если каждому значению x на этом отрезке соответствует совершенно определенное значение y, причем безразлично каким образом установлено это соответствие - аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами. Примером, соответствующим этому общему определению, может служить так называемая функция Дирихле j (x).

Идея соответствия (19 век). Эта функция задана двумя формулами и словесно. Она играет известную роль в анализе. Аналитически ее можно определить лишь с помощью довольно сложной формулы, не способствующей успешному изучению ее свойств. Таким образом, примерно в середине 19 века после длительной борьбы мнений понятие функции освободилось от рамок аналитического выражения, от единовластия аналитической формулы. Главный упор в основном общем определении понятия функции делается на идею соответствия. Во второй половине 19 века после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеи соответствия была включена и идея множества. Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: если каждому элементу x множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент y из множества В, то говорят, что на множестве А задана функция y=f(x), или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы x множества А называют значениями аргумента, а элементы их множества В - значениями функции; во втором случае x - прообразы, y - образы. В современном смысле рассматривают функции, определенные для множества значений x, которые возможно, и не заполняют отрезка a £ x £ b, о котором говорится в определении Дирихле. Достаточно указать, например, на функцию-факториал y=n!, заданную на множестве натуральных чисел. Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам. Например, к геометрическим фигурам. При любом геометрическом преобразовании мы имеем дело с функцией. Другими синонимами термина функция в различных отделах математики являются: соответствие, отображение, оператор, функционал и др. Дальнейшее развитие математической науки в 19 веке основывалось на общем определении функции Дирихле, ставшим классическим.

Дальнейшее развитие понятия функции (20 век -...). Уже с самого начала 20 века определение Дирихле стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков. Еще важнее была критика физиков, натолкнувшихся на явления, которые потребовали более широкого взгляда на физику. Необходимость дальнейшего расширения понятия функции стала особенно острой после выхода в свет в 1930 году книги Основы квантовой механики Поля Дирака, крупнейшего английского физика, одного из основателей квантовой механики. Дирак ввел так называемую дельта-функцию, которая выходила далеко за рамки классического определения функции. В связи с этим советский математик Н.М. Гюнтер и другие ученые опубликовали в годах нашего столетия работы, в которых неизвестными являются не функции точки, а функции области, что лучше соответствует физической сущности явлений. Так, например, температуру тела в точке практически определить нельзя, в то время как температура в некоторой области тела имеет конкретный физический смысл. В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 году, 28-летний советский математик и механик С.Л. Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики. Важный вклад в развитие теории обобщенной функции внести ученики и последователи Шварца - И.М. Гельфант, Г.Е. Шилов и др.