Французский математик и философ Тема: Векторное и смешанное произведение векторов

Французский юрист и математик

Немецкий физик и математик

Великий русский математик ( )

скалярные длина длина масса масса температура температура плотность плотность и т.д. и т.д. векторные перемещение перемещение скорость скорость сила сила ускорение ускорение и т.д. и т.д. Т и п ы в е л и ч и н

Векторная величина определяется числовым значением и направлением Геометрической абстракцией векторной величины есть вектор – направленный отрезок прямой. Чтобы задать вектор необходимо указать направление длину

Действия с векторами Сложение векторов Сложение векторов Определение: Суммой векторов называется вектор, замыкающий ломаную, построенную из данных векторов таким образом, что конец предыдущего вектора является началом последующего а2а2а2а2 а3а3а3а3 а4а4а4а4 а1а1а1а1

Пусть на плоскости задана прямоугольная (декартова) система координат Пусть точка А имеет координаты (х 1,у 1 ), О х1х1 х2х2 у1у1 у2у2 А (х 1,у 1 ) а точка В имеет координаты (х 2,у 2 ) тогда вектор х у (х 2,у 2 ) В имеет координаты а его длина вычисляется по формуле

Скалярное произведение векторов Из скалярного произведения находят угол между векторами Если вектора заданы своими координатами тогда =(х 1,у 1,z 1 ) =(х 2,у 2,z 2 )

Работа А силы, произведенная этой силой при перемещении тела на пути, определяемом вектором, вычисляется по формуле Скалярное произведение векторов в теоретической механике

Три вектора а,b,c, будем называть упорядоченной тройкой, если указан порядок следования Определение. Тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если после приведения к общему началу, кратчайший поворот от а к b из точек вектора с кажется совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке). Определение. Тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если после приведения к общему началу, кратчайший поворот от а к b из точек вектора с кажется совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).правая левая

Определение. Вектор c называется векторным произведением векторов а и b, если: |c| = |a| |b| sinφ, |c| = |a| |b| sinφ, c a, c b c a, c b тройка векторов abc правая. тройка векторов abc правая. Теорема. /геометрический смысл векторного произведения/ Длина векторного произведения равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах а и b. где φ – угол между а и b.

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ Пусть вектора заданы своими координатами =(х 1,у 1,z 1 ) =(х 2,у 2,z 2 ) тогда координаты векторного произведения вычисляются по формуле

С помощью векторного произведения можно вычислить вращающий момент М силы F, приложенной к точке В тела, закрепленного в точке А: Векторное произведение векторов в теоретической механике

Смешанное произведение векторов Определение Пусть даны три вектора a, b, c. Если вектор a векторно умножить на вектор b, а затем получившийся при этом вектор скалярно умножить на вектор с, то в результате получается которое называется смешанным произведением векторов a, b, c число, Обозначение

Теорема (геометрический смысл смешанного произведения) Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c Если три вектора лежат в одной плоскости, то их смешанное произведение равно нулю Замечание

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ Если три вектора определены своими декартовыми координатами то смешанное произведение равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов =(х 2,у 2,z 2 ) =(х 1,у 1,z 1 ) =(х 2,у 2,z 2 )

ЗАДАЧА 1 Даны координаты вершин пирамиды Методами векторной алгебры определить Угол между ребрами А 1 А 2 и А 1 А 4 Угол между ребрами А 1 А 2 и А 1 А 4 Площадь грани А 1 А 2 А 3 Площадь грани А 1 А 2 А 3 Объем пирамиды Объем пирамиды

Вычислить работу равнодействующей F сил F 1 =(3,-4,5), F 2 =(2,1,-4), F 3 =(-1,6,2), приложенных к материальной точке, которая под их действием перемещается прямолинейно из точки М 1 (4,2,-3) в точку М 2 (7,4,1) Вычислить координаты вращающего момента М силы F(3,2,1), приложенной к точке А (-1,2,4), относительно начала координат О ЗАДАЧА 2 ЗАДАЧА 3