Векторная алгебра Скалярное произведение векторов Векторное произведение векторов Смешанное произведение векторов Тарасенко Игоря «9»Г. - презентация

1 Векторная алгебра Скалярное произведение векторов Векторное произведение векторов Смешанное произведение векторов Тарасенко Игоря «9»Г

2 Скалярное произведение векторов М Пусть постоянная сила действует на прямолинейно перемещающуюся точку М под углом φ к направлению движения Таким образом, двум векторам: силе и перемещению оказался сопоставлен скаляр – работа. Этот скаляр А и называется скалярным произведением силы на перемещение Как известно из физики, работа силы по перемещению точки М определяется по формуле: Скалярным произведением двух векторов называется произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними..

3 Скалярное произведение векторов Скалярное произведение двух векторов и обозначатся:Если векторы и не нулевые: Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: Законы скалярного произведения 1) 2) 3)

4 Скалярное произведение векторов Для координатных ортов декартовой системы координат справедливо: Пусть в декартовой прямоугольной системе координат заданы векторы: Найдем скалярное произведение:

5 Скалярное произведение векторов Из формулы скалярного произведения векторов следует формула для нахождения угла между векторами: Найти косинус угола между векторами:

6 Векторное произведение векторов Тройка некомпланарных векторов называется правой если наименьший поворот с конца третьего вектора от первого вектора ко второму вектору виден против часовой стрелки Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, определяемый следующим образом: Вектор направлен так, что тройка векторов - правая. левой по

7 Векторное произведение векторов Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах Законы векторного произведения 1) 2) 3) 4) - векторный квадрат равен нулю для любого вектора

8 Векторное произведение векторов Для координатных ортов декартовой системы координат справедливо: + - Векторное произведение двух разноименных ортов, следующих друг за другом в направлении положительного обхода окружности, равно третьему орту со знаком плюс, в противоположном же случае - знаком минус. Пусть в декартовой прямоугольной системе координат заданы векторы: Найдем векторное произведение:

9 Векторное произведение векторов 0 0 0

10 Найти векторное произведение векторов:

11 Векторное произведение векторов Найти площадь треугольника с вершинами: Найдем координаты векторов: А В С

12 Смешанное произведение векторов Смешанное произведение представляет собой скаляр. Выясним его геометрический смысл. Векторно - скалярным или смешанным произведением трех векторов называется произведение, которое получается скалярным умножением векторного произведения двух векторов на третий вектор, т.е. произведение вида: Построим на векторах параллелепипед, основанием, которого будем считать параллелограмм со сторонами. Обозначим:, тогда площадь основания будет равна: Обозначим через h высоту параллелепипеда, тогда объем будет равен:

13 Смешанное произведение векторов Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах в том случае, если векторы образуют правую тройку векторов (как в предыдущем примере). В случае, если векторы образуют левую тройку, то смешанное произведение равно объему параллелепипеда, взятому со знаком «-»: Таким образом, объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, всегда равен абсолютной величине их смешанного произведения:

14 Смешанное произведение векторов Законы смешанного произведения 1) 2) Сочетательный закон следует из геометрического смысла смешанного произведения: Учитывая сочетательный закон, смешанное произведение обозначают: или. Закон круговой переместительности: При перестановке множителей не нарушающей их кругового порядка, смешанное произведение не меняется, при перестановке же множителей, нарушающей круговой порядок, смешанное произведение меняет свой знак

15 Смешанное произведение векторов 3) Распределительный закон В частности, смешанное произведение равно нулю, если в нем два множителя одинаковы: Пусть в декартовой прямоугольной системе координат заданы векторы:

16 Смешанное произведение векторов

17 Найти объем треугольной пирамиды с вершинами: Найдем координаты векторов: А В С D Объем треугольной пирамиды равен 1/6 части параллелепипеда, построенного на векторах