Проблема: повышение эффективности усвоения школьного курса математики

Пути решения: использование достижений педагогической психологии Л.С. Выготского, А.Н. Леонтьева, П.Я. Гальперина

Теория Гальперина – основа существенного повышения эффективности преподавания математики

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОЭТАПНОГО ФОРМИРОВАНИЯ ЗНАНИЙ И УМЕНИЙ УЧАЩИХСЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Лев Семенович Выготский и Алексей Николаевич Леонтьев установили, что материал усваивается лишь в ходе собственной работы ученика При этом: Задача учителя – правильно организовать эту работу. Каждой порции знаний строго определенная работа

Условия, при которых ученик будет действовать так, «как надо», и неизбежно придет к заранее намеченным результатам: Три этапа организации усвоения 1.Ориентировка в материале и способах работы с ним: 1.) определение порции материала для усвоения; 2.) способы работы с материалом ( схемы, алгоритмы); 3.) решение задач по схеме -без заучивания -без ошибок образцы подробных записей

2. Организация пошагового контроля в ходе решения задач: 1.)решение задач + подробные записи по образцу; 2.)индивидуальная помощь 3. Постепенный переход от пошагового контроля к самоконтролю: 1.) самостоятельная работа с новым материалом; 2.) решение задач по-новому ( переход к более краткой записи решения); 3.) переход к обычным записям решения; 4.) контроль по конечному результату.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ПОЭТАПНОГО ФОРМИРОВАНИЯ ЗНАНИЙ И УМЕНИЙ УЧАЩИХСЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

5 класс «Правило деления десятичной дроби на целое число» Ученики должны понять - суть правила - как его использовать 1этап (ориентировки) осмысление: 1) дели как натуральные; 2) целая часть кончилась, ставь «запятую»; 3) продолжи деление

Устраним «неточности» правила деления ( сделаем правило более рабочим ) _31,2 3 СХЕМА 3 10,4 _ 1 0__ _ «Снес цифру в разряде десятых – ставь запятую!»

11 класс «Решение показательных уравнений и неравенств» Показательные уравнения Если а х = а с, то х =с а < 0 а 1 Показательные неравенства при а >1 у = а х при 0 < а < 1

6 класс «Правила отыскания НОД и НОК двух чисел» 1 этап. Ориентировка. ВАЖНО: знакомить одновременно

НОД (12;18)= НОД этих чисел – это число а, на которое можно: -разделить нацело эти числа -или сократить дробь = = = = НОД (12;18) = 2 3 = 6 НОК (12;18)= Надо найти такое число а, которое: -делится нацело на 12 -делится нацело на = = Это число должно содержать все простые множители чисел 12 и 18 НОК (12,13) = =36

Правило НОД(а;в) надо: 1) разложить а и в на простые множители; 2) одинаково выделить одни и те же простые множители; 3) найти произведение выделенных простых множителей Правило НОК(а;в) надо: 1) разложить а и в на простые множители; 2) одинаково выделить одни и те же простые множители; 3) записать произведение простых множителей одного из чисел; 4) приписать к этому произведению все недостающие множители второго числа

Схема-ориентировка при одновременном изучении Отыскание НОД (12,18) НОК (12,18) 1) 12 = = ) НОД (12,18) = НОК (12,18) = 2 3 = = 36

ЭФФЕКТИВНОЕ УСВОЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЙ В определениях видовые отличия соединены союзами «и», «или» РАСПОЗНАВАНИЕ определение наличия всех свойств, указанных в определениях

1этап. Ориентировка. 1.) представление определения в краткой схематической форме (конспект) КОНСПЕКТ ОПРЕДЕЛЕНИЯ (из какого (видовые отличия) множества выделен) термин родовое понятиесвойства ТЕРМИН РОДОВОЕ ПОНЯТИЕ И ВИДОВЫЕ ОТЛИЧИЯ

Пример 1 ( 8 класс, геометрия) АВСD – параллелограмм 1.) АВСD - четырехугольник 2.) АВ || CD 3.) ВС || AD Пример 2 с а в ас и bс – 1.) с – общая смежные 2.) а и b– дополнительные лучи

2 этап. Пошаговый контроль при распознавании определенного объекта примерыраспознавание а) М = трапеция HEFQ ( EF и HQ – основания) Е F H Q 1.) HEFQ –четырехугольник 2.) EF || HQ (т.к. основания) 3.) EH не параллельна FQвывод: HEFQ - не параллелограмм M

б) N - правильный восьмиугольник B C A D L E K F 1.) ABCDEFKL – не четырехугольник вывод: N - не параллелограмм в) F – квадрат N P M Q 1.) MNPQ – четырехугольник 2.) NP || MQ 3.) MN || PQ вывод: MNPQ – параллелограмм N F

3 этап. При переходе к самоконтролю: можно вместо подробных пояснений ставить «+» и «-» Пример 3 ( 7 класс, алгебра) Неравенства а b1.) a и b - числа 2.) a < b или a = b Самоконтроль – подробные записи можно заменить знаками «+» и «-»

Пример 4 ( 5 класс, метематика) a _ дробь1.) 1: b равных частей b2.) взято а таких частей Пример 4 ( 5 класс, метематика) a _ дробь 1.) 1: b равных частей b 2.) взято а таких частей Пример 5 ( 8 класс, алгебра) а = 1 1.) а 0 2.) а 1 или а = х 1.) а 0 2.) а 1 3.) х 1 ( b – 7,23) = 1 означает : 1.) b 7,23 2.) b 8,23 Пример 4 ( 5 класс, метематика) a _ дробь1.) 1: b равных частей b2.) взято а таких частей Пример 4 ( 5 класс, метематика) a _ дробь 1.) 1: b равных частей b 2.) взято а таких частей Пример 5 ( 8 класс, алгебра) а = 1 1.) а 0 2.) а 1 или а = х 1.) а 0 2.) а 1 3.) х 1 ( b – 7,23) = 1 означает : 1.) b 7,23 2.) b 8,23

ЭФФЕКТИВНОЕ УСВОЕНИЕ ФОРМУЛИРОВОК И ТЕОРЕМ ЭФФЕКТИВНОЕ УСВОЕНИЕ ФОРМУЛИРОВОК И ТЕОРЕМ Если….., то….. (условие) (заключение) Дано: Доказать: Пример 1 Теорема Пифагора Этап 1.Ориентировка ( АВС ( С = 90 )) (АВ =АС + ВС ) Этап 2. Пошаговый контроль: 1) установление в треугольнике прямого угла; 2 2) вывод: применить теорему Пифагора можно. Этап 3. Самоконтроль: 1) запись прямого угла; 2) запись соотношения сторон (по теореме )

Пример 2 Формулировка первого признака равенства треугольников Этап 1. Ориентировка 1), 2) АВ = А В 3) АС = А С АВС = А В С 4) А = А Задача: Можно ли воспользоваться первым признаком равенства треугольников, чтобы установить равенство МКО и РЕА, у которых МК = ЕА, КО = РЕ, М = Е ? Этап 2. Пошаговый контроль : 1) два треугольника 2) МК = ЕА 3) КО = РЕ 4) между МК и КО лежит К между ЕА и РЕ лежит Е о равенстве К и Е ничего не сказано Вывод: первым признаком равенства треугольников воспользоваться нельзя.

Этап 3. Самоконтроль: 1) + 2) + 3) + 4) ? Вывод: воспользоваться первым признаком треугольников нельзя. Важно: в контроле за правильностью выполнения каждого шага принимали участие все (голосованием) Пример 3 (5 класс, математика) (а+b)с = ас + bc 1) вычисление 2) упрощение х - 3,12 х Непосредственно законом воспользоваться нельзя.

1) Выражение = (300+2) 121 имеет вид (а+b)с, где а = 300, b = 2 с = 121 2) Это выражение можно заменить выражением вида ас + bc = = ) Выражение х – 3, 12х = 1 х + (-3,12 х) имеет вид ас + bc, где а = 1 b = -3,12 с = х 2) Это выражение можно заменить выражением вида (а+b)с (1+(-3,12)) х = -2,12х

Пример 4 (7 класс, алгебра ) Формулы сокращённого умножения. Сложность! в записи формулировки конспектов. Использование одних и тех же букв. (а+b) (a-b)=a - b (-2b+3a) (-2b-3a), т.е a=-2b b=3a

«Конструирование» обратных противоположных им теорем. Учащиеся должны уметь: 1) записывать обратную теорему; 2) приводить примеры, доказывающие её неверность.

ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ, ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ. Решение задач Доказательство теорем Процесс творческий Этому надо учить, но невозможно научить! Решение задачи Подумать (как?) Над чем?

Пример 1 «Дан параллелограмм АВСD. На его противоположных Сторонах АВ и СD от противоположных вершин А и С отложены равные между собой отрезки, АМ и СN. Доказать, что MBND – параллелограмм. В N С А М D Поиск решения: 1. Из условия ABCD - параллелограмм много информации 1) АВ || CD, BC||AD 2) AB BD, ABC = ADC Дано: ABCD – параллелограмм АМ == CN Доказать: MBND - параллелограмм 3 1 а 2 4

2. Какую информацию взять для решения задачи? Обратим внимание на то, что надо доказать MBND – параллелограмм, т.е. доказать МВ || ND и BN || MD Но ! BN || ND, т.к. BC || AD значит надо доказать, что MB||ND воспользуемся признаком параллельности прямых, но там есть секущая. Где её взять ? Проведём диагональ BD Доказать, что 1 = 2 (т.е. накрест лежащие углы) Как ?

Рассмотреть и доказать BMD = DNB ( в которые входят 1 и 2) (по первому признаку) BD - общая 3 = 4, т.к. BC||AD, BD – секущая BN = ND, т.к. BC = AD и AM = NC 1 = 2 BM || ND при секущей BD и BN || MD MBDN – параллелограмм (по определению) Пример 2 (7 класс, геометрия) Теорема о сумме углов треугольника. «Сумма внутренних углов треугольника равна 180 » С чего начать доказательство ?

величина развёрнутого угла сумма смежных углов В D A 1 C 180

Дано: ABC Доказать: А + В + С = 180 Доказательство: 1) DAB – смежный с А 2) DAB + BAC =180, а надо доказать BAC + D + C = 180 т.е. 3) докажем, что DAB = B + C 4) попытаемся DAB разделить на два угла таких, чтобы один равнялся В, а другой - С 5) КМ||ВС, А КМ DAB = ) Развёрнутый DAC = BAC 180 = BAC Ч.Т.Д. Необходимо целенаправленно учить детей: - наращивать цепочки выводов из условий; - «перебору» всех известных совокупностей и свойств.

ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Альтернатива решению задач – выявление их математической сути. Моделирование Задача 1 (5 класс, математика) «Ученик купил тетрадей в клетку в 3 раза больше, чем тетрадей в линейку. Причём их было на 18 больше, чем тетрадей в линейку. Сколько всего тетрадей купил ученик ?» в линейку на 18 тетрадей меньше в клетку из схемы видно: больше складывается из дважды повторённого числа тетрадей в линию. Общее число тетрадей превышает 18 в 2 раза, т.е. 18 *2 = 36 (тетрадей)

Задача 2 (нахождение двух чисел по их разности и сумме) «На двух полках стояло равное количество книг. С первой полки сняли 10 книг и поставили на вторую полку. На сколько книг на второй полке стало больше, чем на первой ?» Схема Было I II Стало 10 I 10 II на II полке стало на 20 книг больше, чем на I полке

Задача 3 «Разные арифметические задачи» «Если в вазы поставить по 5 роз, то 2 розы останутся лишними. А чтобы поставить по 6 роз, то четырёх роз не хватит. Сколько было ваз ?» Схема в вазе не вошли по 5 роз 5 роз 6 роз по 6 роз 4 розы не хватило Ясно: Если в вазы по 5 роз добавить ещё по розе, то в двух вазах будет по лишней розе, а в четырёх вазах по 5 роз, т.к. четырёх роз не хватило, чтобы было по 6 роз, т.е. ваз будет = 6

Задача 4 на «движение» «Расстояние между городами А и В 720 км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 часа навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов они встретятся ?» А В 80 км\ч А С В 80 км\ч 60 км\ч