Теорема Ферма

Введение В прошлом двадцатом веке случилось событие, равного по масштабу которого в математике не было за всю историю. 19- го сентября 1994 года была доказана теорема, сформулированная Пьером де Ферма ( ) более 350- ти лет назад в 1637 году. Она известна также как « последняя теорема Ферма» или как « большая теорема Ферма», поскольку есть ещё так называемая малая теорема Ферма. Её доказал 41- летний, до этого момента в математическом сообществе ничем особо непримечательный, и по математическим меркам уже не молодой, профессор Принстонского университета Эндрю Уайлс.

Нам прежде всего интересен вопрос о возможности доступного изложения доказательства Уайлса, про которое, конечно, большинство математиков в мире знает, но говорить про понимание этого доказательства могут лишь очень и очень немногие из них.

Теорема Ферма Эта теорема связана с весьма знаменательным уравнением X +Y = Z Великая теорема Ферма утверждает, что при значениях параметра «n» (степени уравнения), превышающих двойку, целочисленных решений (X,Y,Z) данного уравнения не существует (кроме, конечно, когда все эти переменные равны нулю одновременно).

Притягательная сила этой теоремы Ферма для широкой публики очевидна: нет другого математического утверждения, обладающего такой простотой формулировки, кажущейся доступностью доказательства. А также привлекательностью его «статусности» в глазах общества. Всегда привлекала вероятная элементарность доказательства. Так как сам Ферма «её доказал», написав на полях перевода «Арифметики» Диофанта: «Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля здесь слишком узки, чтобы вместить его».

Рем Мерти привел оценку актуальности популяризации доказательства Уайлса проблемы Ферма: «Большая теорема Ферма занимает особое место в истории цивилизации. Своей внешней простотой она всегда притягивала к себе как любителей, так и профессионалов… Всё выглядит так, как если бы было задумано неким высшим разумом, который в течение веков развивал различные направления мысли лишь затем, чтобы потом воссоединить их в один захватывающий сплав для решения Большой теоремы Ферма. Ни один человек не может претендовать на то, чтобы быть экспертом во всех идеях, использованных в этом «чудесном» доказательстве. В эпоху всеобщей цивилизации, когда каждый из нас знает «всё больше и больше о всё меньшем и меньшем», совершенно необходимо иметь обзор этого шедевра …»

Пьер Ферма Пьер Ферма родился на юге Франции в городке Бомон-де- Ломань. Метрическая запись о его крещении от 20 августа 1601 года гласит: Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второго консула города Бомона. В колледже Пьер приобрел хорошее знание языков: латинского, греческого, испанского, итальянского. Ферма славился как тонкий знаток античности. Крупную заслугу Ферма перед наукой видят, обыкновенно, во введении им бесконечно малой величины в аналитическую геометрию. Пьер Ферма скончался 12 января 1665 года во время одной из деловых поездок.

18 октября 1640 года Ферма высказал следующее утверждение: если число a не делится на простое число p, то существуют такой показатель k, что a-1 делится на p, причем k является делителем p-1. Это утверждение получило название малой теоремы Ферма. Оно является основным во всей элементарной теории чисел. Во второй книге своей Арифметики Диофант поставил задачу представить данный квадрат в виде суммы двух рациональных квадратов. На полях, против этой задачи, Ферма написал: Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки.

Великая теорема стоит на первом месте по числу данных ей неверных доказательств. В настоящее время справедливость Великой теоремы проверена для всех показателей n меньше Ферма пришел первым к идее координат и создал аналитическую геометрию. Он занимался также задачами теории невероятностей. Ферма принадлежит открытие закона распространения света в средах. Применив свой метод максимумов и минимумов, он нашел путь света и установил, в частности, закон преломления света.

Небольшая историческая справка теоремы Вокруг манящей своей кажущейся простотой коварной теоремы всегда кипели нешуточные страсти. История ее доказательства – сплошные драмы, мистика и даже непосредственные жертвы. Пожалуй, самая знаковая жертва – Ютака Танияма ( ). Именно этот молодой талантливый японский математик, создал в 1955 году основу для атаки Уайлса. Уайлс получил теорему как следствие. Мистика истории смерти нетривиального Ютаки связана с его бурным темпераментом: он повесился в возрасте тридцати одного года на почве несчастной любви. Вся длинная история загадочной теоремы сопровождалась постоянными объявлениями о ее доказательстве, начиная с самого Ферма. Постоянно находились ошибки в нескончаемом потоке доказательств. Это привело к тому, что термин «ферматист», применяемый к доказывающему теорему Ферма, стал нарицательным.

Эндрю Уайлс Эндрю Уайлс, родился в Англии в 1953 году, учился на математическом факультете в Кембридже. Эндрю бросил вызов проблеме Ферма. После окончания аспирантуры Уайлс получил позицию в Принстонском университете, где работает и сейчас. Эндрю мечтал доказать теорему Ферма уже с юношеских лет. Но ему, было ясно, что для этого нужно осваивать целые пласты самой сложной математики. Двигаясь к своей цели, Эндрю начинает специализироваться в современной теории чисел. Уайлс полностью погружается в доказательство, прекращая даже участие в научных конференциях. И в результате семилетнего отшельничества от математического сообщества в Принстоне, в мае 1993 года Эндрю ставит точку в своем тексте – дело сделано.

23-го июня 1993-го года Уайлс объявляет о доказательстве великой теоремы Ферма. Вот здесь и наступает самый драматический поворот. Сам Уайлс в процессе общения с рецензентами обнаруживает у себя пробел в доказательстве. Проходит еще один год напряженной работы. И вот новое испытание. Не доведенный до конца. Но все же впечатляющий результат работы Уайлса, докладывается им на международном конгрессе математиков в Цюрихе в конце августа 1994 года. Перед докладом он еще что-то пишет, пытаясь максимально улучшить ситуацию с «провисшим» доказательством. Вспышка озарения настигла Уайлса 19-го сентября 1994 года. Именно в этот день пробел в доказательстве удалось закрыть. Далее дела пошли в стремительном темпе. Уже налаженное сотрудничество с Ричардом Тейлором при изучении эйлеровых систем Ковылагина и Тэйна позволило окончательно оформить доказательство в виде двух больших статей уже в октябре. История доказательства Уайлса получила в США восторженную прессу. Был снят фильм и выпущены книги об авторе фантастического прорыва в математике. В одной из оценок своего собственного труда Уайлс отметил, что он изобрел математику будущего.

Специфичная организация работы над теоремой Уайлс шел к своему фантастическому результату на основе непрерывной многолетней индивидуальной работы. Такая деятельность вне общества, казалась противоречащей всем канонам работы современного ученого. Именно этот стиль работы, замкнутый по форме и одновременно свободный по сути, позволял изобретать новые мощные методы и получать результаты нового уровня. Таким образом, деятельность Уайлса носила ярко выраженный внесистемный характер, и результат был достигнут благодаря сильнейшей мотивации, таланту, творческой свободе, воле. Более чем благоприятным материальным условиям для работы в Принстоне и, что крайне неважно, взаимопониманию в семье.

Особенности реакции математического сообщества на доказательство теоремы Реакция даже самой прогрессивной части международного математического сообщества в целом оказалась, как ни странно, довольно нейтрально. Ни одна из бюрократических структур, организующих науку в разных странах, включая и Россию, так и не сделала из феномена доказательства Эндрю Уайлса. Субъективные факторы нейтральности реакции математического мира на «событие тысячелетия» лежат во вполне прозаичных причинах. Доказательство действительно необычайно сложное и длинное. Сложность восприятия усиливается еще тем, что арифметическая алгебраическая геометрия – весьма экзотическая подобласть математики, вызывающая трудности даже у профессиональных математиков.

Попробуйте задать вопросы знакомым математикам по поводу доказательства Уайлса: кто понял? Кто понял хотя бы основные идеи? Кто захотел понять? Кто почувствовал, что это новая математика? Ответы на эти вопросы представляются риторическими. И вряд ли вы встретите много желающих прорвать частокол специальных терминов и освоить основные понятия и методы для того, чтобы решить всего одно экзотическое уравнение. И почему ради именно этой задачи надо все это изучать? Тем не менее, проблема адаптации доказательства осталась и остается актуальной. На сегодняшний день оригинальный крайне специальный текст статьи Уайлса и совместной статьи Уайлса и Тейлора уже адаптирован, правда. Только для достаточно узкого круга профессиональных математиков. Это сделано в упоминавшейся книге Ю. Манина и А. Панчишкина Итак, на сегодняшний день факт доказательства Уайлса является просто фактом доказательства теоремы Ферма со статусом первого правильного доказательства и с использованной в нем «некой сверхмощной математики»

Сверхмощная математика и её целесообразность в мире По поводу мощной, но не нашедшей приложений математики очень ярко в свое время высказался известный российский математик середины прошлого века, бывший декан мехмата, В. В. Голубев: «… по остроумному замечанию Ф. Клейна, многие отделы математики представляют подобие тех выставок новейших моделей оружия. Которые существуют при фирмах, изготовляющих вооружение; при всем остроумии. Вложенном изобретателями. Часто бывает. Что когда начинается настоящая война., эти новинки оказываются в силу тех или иных причин непригодными…» Доказательство Уайлса представляет исключительно благоприятный материал для изучения огромного пласта современной фундаментальной математики. Было бы справедливо. Если бы уверенность Уайлса, что изобретенная им математика – математика нового уровня нашла свое подтверждение. И очень не хочется, чтобы эту действительно очень красивую и синтетическую математику постигла участь «не выстрелившего оружия».

Доказательство теоремы Ферма Теорема Ферма-это утверждение о целых точках обычного трехмерного евклидова пространства. Уайлс находит оптимальный механизм пересчета целых точек и их тестирования на удовлетворение уравнению теоремы Ферма. Механизм пересчета оптимизируется с помощью замечательной находки немецкого математика Герхарда Фрея, связавшим потенциальное решение уравнения Ферма с произвольным показателем «n» с другим уравнением. Это новое уравнение задается специальной кривой. y²+x (x-a) (x+b)= 0 Но таких кривых не существует при n>2. В этом случае следовала бы великая теорема Ферма. Теперь посмотрим на кривую Фрея с другой стороны, как на инструмент пересчета целых точек в евклидовом пространстве. Следовательно, кривая будет играть роль формулы. Уайлс изобретает инструменты (специальные алгебраические конструкции) для контроля этого пересчета. Тонкий инструментарий Уайлса и составляет центральное ядро и основную сложность доказательства. Самым неожиданным эффектом доказательства оказывается достаточность использования только одной «фреевской» кривой. Самое главное в том, что эти инструменты «минимальны», те есть их нельзя упростить. Именно осознание Уайлсом этой нетривиальной «минимальности» и стало решающим финальным шагом доказательства.

Редукции Ферма и Уайлса соответствует приведение законов сохранения пересчета точек к закону простейшего вида. Этот простейший пересчет как геометрически, так и алгебраически представляется качением именно сферы по плоскости. Поскольку сфера и плоскость – «минимальные» двумерные геометрические объекты. На рисунке линейное движение центра сферы «считает» целые очки на плоскости, а ее угловое (или вращательное) движение обеспечивает пространственный компонент пересчета.

Кривая Фрея «кодирует» наиболее красивый с эстетической точки зрения пересчет целых точек в пространстве, напоминающий движение по винтовой лестнице. Если следить за кривой, которую заметает некоторая точка сферы за один период, то обнаружится, что отмеченная точка заметет кривую, изображенную на рисунке, напоминающую «двойную пространственную синусоиду»- пространственный аналог графика. Этот и есть график нашего тестирующего пересчета. Решающим моментом интерпретации оказывается о обсоятельство. Что аналогом закона сохранения для малой теоремы Ферма оказывается уравнение Большой теоремы Ферма именно в случае n=2.

Заключение Сила доказательства Уайлса в том, что оно является не просто формально-логическим рассуждением. А представляет широкий и мощный метод. Это творение представляет собой не отдельный инструмент для доказательства одного отдельно взятого результата, а прекрасный набор хорошо подобранных инструментов, позволяющий «раскалывать» самые разнообразные задачи. Принципиально важно и то, что посмотрев вниз с высоты небоскреба доказательства Уайлса, мы увидим и всю предшествующую математику. Пафос состоит в том, что это будет не «лоскутное». А панорамное видение. Это говорит не только о научной, но и о методологической преемственности этого поистине магического доказательства. Осталось «всего-то ничего»-только его понять и научится применять. И как теперь не воскликнуть: великая теорема Ферма «умерла» - да здравствует метод Уайлса!