Работа по геометрии Выполнила: Глазырина Ксения Ученица 8-А класса Школы 125

Пифагор.

Немного из биографии. Около 570 г. до н. э. на Самосе родился основоположник современной математики Пифагор. Отцом Пифагора был Мнесарх – резчик по драгоценным камням. Имя матери Пифагора не сохранилось. Некоторые называли ее Пифаидой, дочерью рода Анкея – основателя Самоса. Учителями юного Пифагора были старцы Гермодамант и Ферекид Сиросский. Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, а Ферекид обратил его ум и взор к природе и в ней советовал видеть своего первого и главного учителя. Мудрый Ферекид однажды сказал Пифагору: «Помни: путешествия и память два средства, возвышающие человека и открывающие ему врата мудрости.»

Учеба в Египте.(550г.до н.э. – 536г. до н.э.) Все дороги вели в Милет. Там Пифагор встретился с мудрецами Фалесом и его учеником Анаксимандром. Пифагор принимает решение и отправляется в Египет. Он понимал, что путь к знаниям лежит через религию. Пифагор мужественно сносил все испытания и в конце концов его настойчивость победила. Двери мемфисских храмов открылись перед ним. Изучив «греческий» стиль мышления – выбор самоочевидных истин (аксиом) и выявление с помощью рассуждений (доказательств), ученый выбрал свой стиль. Пора ученичества подходила к концу. Нужно было ехать домой и создавать свою школу. Вавилонский плен (536 – 530г. до н. э.) Путь на родину растянулся на долгие семь лет. Попал в Вавилон, в качестве пленника. В Вавилоне Пифагору, бесспорно, было чему поучиться. Близится 530 г. до н. э. – 40-й год жизни Пифагора. Перед ним вопрос о выборе жизненного пути, надо вырваться на самостоятельную дорогу в жизни.

Постижение истины На родине поселяется в пещере в окрестностях Самоса. Его жизнь становится все более уединенной. Чем дальше отходил Пифагор от жизни общества, тем теснее сближался он с тайной общинной орфикой. Его занимала внутренняя философия единения с природой. Он нашел, что единое первоначало природы – это число. Теория чисел стала стержнем всей его философской системы. Родина не дола Пифагору духовной свободы. Судьба вечного странника вновь выбирала дорогу в Кротон. 530 г. до н.э. – 511 г. до н.э. С приездом в Кротон начинается самый славный период в его биографии. Пифагор учредил религиозно-этическое братство. Нравственные принципы и правила которого увековечены в «Золотых стихах». Много изречений – символов актуальны и в наше время. Главный символ братства – пентаграмма- пифагорейская звезда- звездчатый пятиугольник. Он обладает поворотной симметрией пятого порядка – симметрией жизни.

Последние годы жизни. Велась борьба против Пифагора и его братства. Он не выдерживает и удаляется в Метапонте. Есть много версий смерти Пифагора. 1 версия: согласно приданию, во время пожара в доме 6- кратного олимпийского победителя рухнула центральная колонна – погибли все и Пифагор 2 версия: Пифагор находился в доме, но был спасен, затем долго скитался в поисках пристанища, пока не нашел его в Метапонте, где и провел остаток своих дней. 3 версия: Пифагора не было, он был на острове Делос, ухаживал за старцем Фереклидом

Теорема Пифагора. Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Причина популярности теоремы Пифагора триедина: это простота – красота – значимость. Теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии почти на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и других). Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы.

Простейшее доказательство. Построим равнобедренный прямоугольный треугольник АВС. На катетах и гипотенузе строим квадраты. Тогда получим, что квадрат, построенный на гипотенузе, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты на катетах по 2, следовательно 4=2+2. А С В

Древнекитайское доказательство 1). Построим прямоугольный треугольник, а и в – катеты, с – гипотенуза. 2). Достроим квадрат со стороной а+в. 3). В квадрате со стороной с, где с – гипотенуза, построим треугольники, равные исходному (а, в, с) 4). Тогда с другой стороны После сокращения получим а а а в с в в в а с с с

Доказательство с помощью египетского треугольника Построим египетский треугольник с катетами а и в и гипотенузой с, где а=3, в=4, с=5. Достроим его до квадрата со стороной а+в В квадрат со стороной с «впишем» квадрат со стороной а. Мы знаем, что S=c*c=5*5=25, но с другой стороны S=в*в+х= =4*4+х=16+х, следовательно Х=9=3*3, значит ав а а а с с с с в в в

Доказательство с помощью «Кресла невесты» с в а 1). Построим треугольник, где а и в – катеты, с – гипотенуза. 2). Достроим его до квадрата со стороной с, площадь которого равна с х с. 3). Вырежем два треугольника и приложим их к другим двум, соединив гипотенузами. 4), S полученной фигуры равна сумме площадей двух прямоугольников и квадрата со стороной а-в с х с=2 х а х в + (а-в) х (а-в)

Доказательство Евклида. 1)Построим треугольник АВС, где АВ и АС – катеты, ВС – гипотенуза, квадраты на катетах и гипотенузе. 2)Рассмотрим треугольники АВD и FBC, они равны. 3)S(ABD)=1/2S(BJLD) 4)S(FBC)=1/2S(ABFH) Следовательно из 2),3),4)BJLD=ABFN 5) Рассмотрим треугольники BCK и ACE, они равны 6) S(BCK)=1/2S(AGKC) 7) S(ACE)=1/2S(JCEL) Следовательно из 5),6),7) AGKC=JCEL 8) BC * BC = S (BJLD) + S (JLEC) = AB * AB + AC * AC F А ВС N DE K G L J

Доказательство с помощью достроения. 1). Рассмотрим ABPFDE DE=AE как стороны квадрата. FP=PB как стороны квадрата. AB=DF как гипотенузы равных треугольников. Значит DFPE=PEAB 2). Рассмотрим ACBNMQ CA=NM как катеты равных треугольников CB=MQ как кате5ты равных треугольников BN=AQ как стороны квадратов 3).Если вырезать четырехугольник CAQM и повернуть его на 90 градусов, то CAQM и EABP полностью совместятся CAQM=EABP и PFDE=CBNM 4). Рассмотрим треугольники FCD и QNM: угол М и угол С равны, DC=NM; FC=QM, значит треугольникb равны. Из всего получили площадь ABNQ=ACDE+BCFP следовательно AB*AB=AC*AC+BC*BC D E C B A P Q MN F

Доказательство с помощью подобия треугольников Пусть CD – высота прямоугольного треугольника ABC. На основе утверждения (катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенном между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла) Аналогично Складывая эти равенства почленно и учитывая, что AD+DB=AB А D C B

Задачи. 1) Дан прямоугольный треугольник OMK (угол К=90 градусов). Запишите формулу теоремы Пифагора для этого треугольника. Найдите сторону OM, если ОК=12см, МК=5см. 2) Найдите диагональ прямоугольника, если одна его сторона больше другой на 2см, а его периметр равен 28см. 3) В прямоугольной трапеции основания AD и BC диагональ BD равна 13см, а основания AD равно 12см. Найти сторону AB. 4) В равнобедренном треугольнике проведена медиана к основанию. Найдите: а) боковую сторону треугольника, если медиана равна 12м, а основание – 10м; б) основание, если боковая сторона равна 13м, а высота, проведенная к основанию, - 5м. 5) Из точки М к прямой а проведены перпендикуляр МК и наклонные МА и МВ. Найдите расстояние АВ, если МК=12см, МА=37см и МВ=13см. Сколько решений имеет задача? 6) Реши старинную задачу: Шест прислонили к стене, а затем опустили его верхний конец вдоль стены на 3 локтя так, что его нижний конец отодвинулся от основания стены на 9 локтей. Какой длины был шест?