Доклад на тему: «Задачи на дополнительное построение» Работу выполнила Аутлева Джанетта

Введение Приступая к решению геометрической задачи, нужно иметь в виду, что обычно геометрическая задача может быть решена несколькими способами. Поэтому, если появилась идея решения задачи, но путь к решению довольно длинный, то следует помнить, что существенную помощь могут оказать дополнительные построения. В одних случаях эти построения напрашиваются сами собой, в других они не так очевидны и требуют изобретательности, геометрической интуиции. Сейчас в школьном курсе учеников знакомят с разнообразными понятиями и средствами решения задач, но именно их разнообразие оставляет мало времени на приобретение навыков, и вкус к такого рода задачам, которые развивают геометрическое воображение. Цель работы: выделить основные виды дополнительных построений, к каждому виду подобрать и решить задачи. Изучив статью «Научим школьников выполнять дополнительные построения» в газете «Математика» приложение к газете «Первое сентября» и статью «Учимся делать дополнительные построения» в научно-популярном физико- математическом журнале «Квант», меня заинтересовала эта тема и я начала подбирать задачи, которые «красиво» решаются с помощью дополнительных построений. Изучив задачники Просолова В.В «Задачи по планиметрии» и Шарыгина И.Ф «Задачи по геометрии», я выделила четыре основных вида дополнительных построений: продолжить медиану, построить прямую параллельную данной, построить прямую перпендикулярную данной, построить окружность. В данную работу включено 10 наиболее интересных задач. Среди них задачи на вычисление, на доказательство, на построение.

Оглавление Введение Основная часть Виды дополнительных построений Глава 1: Продолжить медиану Глава 2: Провести прямую параллельную данной Глава 3: Провести прямую перпендикулярную данной Глава4: Построить окружность Заключение Библиография

Дано: ABC AB=27,BC=29,BO=26 CD высота BO медиана Найти CD.. B D A O C E Решение 1. Дополнительное построение: строю OE=BO ABCE- параллелограмм (по признаку) BC=AE=29. AB=EC=27 2. SABC= SABE (т.к составлены из равных треугольников) 3. SABE= (по формуле Герона) SABE= SABC= CD=20 Ответ: = 1 Две стороны треугольника равны 27 и 29, а медиана, проведенная к третьей стороне равна 26. Найти высоту, проведенную к стороне 27. Продолжить медиану

2. На сторонах AB и BC построены вне его квадраты ABDE и BCKF. Доказать, что отрезок DF в 2 раза больше медианы BP треугольника ABC. Дано: ABC ABDE и BCKF - квадраты Доказать, что DF=2BP. D F E B A P K C Q BF=BC, DB=CQ) ( Решение 1.Дополнительное построение: строю PQ=BP ABCD- параллелограмм (по признаку) DF=BQ=2BP

2 Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы двух сторон, имеющих с этой медианой общую вершину. Решение 1.Дополнительное построение: строю PD=BPABCD- параллелограмм (по признаку) AB=CD, BC=AD 2. BD

Провести прямую параллельную данной Дано: ABCD равнобедренная трапеция AC и BD диагонали AC BD S площадь трапеции Найти h высоту трапеции O B C A F D E 1 Найти высоту равнобедренной трапеции, если её диагонали взаимно перпендикулярны, а площадь трапеции равна S. BC+AD=AE (т.к BC=ED) 3. прямоугольный (т.к COBD, BD||CECECO) Решение 1. Дополнительное построение: строю CE||BD 2.равнобедренный (т.к AC=BD, BD=CE,AC=CE) 4. Проведу высоту CF – она является медианой и биссектрисой AE=2AF=2h Sтр.= h=

2 Через середину M стороны BC параллелограмма ABCD, площадь которого равна 1, и вершину A проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке O. Найти площадь четырехугольника OMCD. Дано: ABCDпараллелограмм SABCD=1 BM=MC Найти площадь OMCD. B M C O F E A D Рассмотрим и Решение 1. Дополнительное построение: стою BE||AM, AF||BO 2. S и - они имеют общую высоту = S 4. S 5.~(т.к,общий) S 1) (т.к EBMA – параллелограмм), 2) EA=BM 3) EF=OM (EF=EB-FB, OM=AM-AO, EB=AM, FB=AO) =(по двум сторонам и углу между ними) 7. SOMCD=S

3 Построить трапецию по четырем сторонам. Дано: Построить трапецию ABCD так, что AB=c, BC=a, CD=d, AD B C c d d A b-a P a D Построение: 1.СтроюABP по трем сторонам так, что AB=c, BP=d, AP=b-a. 2.Строю PD=a 3. Строю BC||PD, BC=a. AD=b 4. ABCD - искомая трапеция. Доказательство: 1. BC||AD (по построению) AB не параллельно CD, т.к BP||CD ABCD – трапеция (по построению) 2. BC=a, AB=c, AD=b, CD=BP= (по построению) 3. ABCD – с данными сторонами. Исследование: Задача имеет единственное решение, если можно построить ABP, т.е выполняется неравенство треугольника: c

Провести прямую перпендикулярную данной 1 На катетах AC и BC прямоугольного треугольника вне его построены квадраты ACDE и BCKF. Из точек E и F на продолжение гипотенузы опущены перпендикуляры EM и FN. Доказать, что EM+FN=AB. K D C E F P M A L B N Q Решение 1.Дополнительное построение: строю CL 2. Пусть и 3. Аналогично (по катету и острому углу)EM=AL, FN=LB EM+FN=AL+LB=AB. Дано: ABCпрямоугольный ACDE и BCKF квадраты EM PA, FN BQ Доказать, чтоEM+FN=AB.

2 Пусть AC большая из диагоналей параллелограмма ABCD, Из точки C на продолжения сторон AB и AD опущены перпендикуляры CE и CF соответственно. Докажите, что ABAE+ADAF=AC AC. Дано: ABCD-параллелограмм CE BN, CF DM Доказать, что ABAE+ADAF=AC AC M F D C G A B E N Решение 1. Дополнительное построение: строю BG AC 2.~ (- общий,) 3. AF||CBFAC=ACB (как накрест лежащие при прямых AF||CB b секущей AC) 4. (FAC=ACB, ) 5. ABAE+ADAF=AC

Найти сумму внутренних углов пятиконечной звезды Дано пятиконечная звезда Найти: P R C N S B D M T A E K Y L X Построить окружность Решение Дополнительное построение: описываю около звезды окружность.

1 В трапеции ABCD (AB и CD основания) меньшее основание равно a, углы, прилежащие к этому основанию, равны 105, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции. Дано: ABCD – трапеция AB и CD -основания Найти S трапеции. B C Q O A D Решение 1.Дополнительное построение: строю описанную окружность (т.к трапеция равнобедренная, то можно описать окружность) x 2.Sтр.= 3. Пусть QB=x, AB=2x (т.к), AQ=y по теореме Пифагора: 4. BQ=QC=x По теореме Пифагора из BQC:+x+x=a=a 5. AQ=QD=y По теореме Пифагора из AQD: 6. BD=BQ+QD= 7. S=

Заключение Рассмотрев конкретных случаи, мы убедились, что решение задач с помощью дополнительных построений не только быстрей и проще, но и намного интересней, чем решение привычными способами. Решая задачи на дополнительное построение, мы не только углубляем знания, но и развиваем изобретательность и геометрическую интуицию. Хотелось бы продолжить работу по этой теме, добавив другие построения, например, преобразование на плоскости. Данный материал можно использовать при повторении курса планиметрии и при подготовке к ЕГЭ.

Библиография Математика. Приложение к газете «Первое сентября», , 48-с 15 Научно-популярный физико-математический журнал «Квант» 10, 1975г.-с 48 Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 классах.-м.: Просвещение, с Просолов В.В. Задачи по планиметрии, 1 часть-м.:Наука, с Просолов В.В. Задачи по планиметрии, 2 часть-м.:Наука, с Шарыгин И. Ф. Решение задач.-м.: Просвещение, с Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии.-м.:Наука, с