Проектная работа по теме: «Уравнения с параметром». Работу выполнили: ученики 10 «А» Захаров Илья, Коблова Людмила, Павшинцева Елена. Руководитель проекта: учитель математики Плешакова О.В.

Цель работы: 1. Познакомиться с понятиями: что такое параметр? что такое уравнение с параметром? что такое система допустимых значений параметров? Что такое равносильность в уравнениях с параметром? 2. Рассмотреть общие принципы решения уравнений с параметром.

Понятия: Рассмотрим уравнение ax=b, буквам а и х придаётся различный смысл, считая, что буквой х обозначено неизвестное число, а буквой а – некоторое фиксированное число. В таких случаях говорят, что а является параметром, а ах - уравнение с параметром.

Системой значения параметра называют неравенства, при которых левая и правая части неравенства имеют смысл в области действительных чисел.

Теорема: Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называют равносильными, если: 1. они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров; 2. каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

Решить линейное уравнение - значит: найти множество значений неизвестных, удовлетворяющих этому уравнению. Иногда уравнения, кроме букв, обозначающих неизвестное(X, Y,Z), содержат другие буквы, называемые параметрами(a, b, c). Тогда мы имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений. При одних значениях параметров уравнение не имеет корней, при других – имеет только один корень, при третьих – два корня.

При решении таких уравнений надо: 1) найти множество всех доступных значений параметров; 2) перенести все члены, содержащие неизвестное, в левую часть уравнения, а все члены, не содержащие неизвестного в правую; 3) привести подобные слагаемые; 4) решать уравнение ax = b.

Возможно три случая: 1. а0, b – любое действительное число. Уравнение имеет единственное решение х = b:a. 2. а = 0, b = 0. Уравнение принимает вид: 0х = 0, решениями являются все х R. 3. а = 0, b действительное число. Уравнение 0х = b решений не имеет.

Общие принципы решения уравнений с параметром.

Пример 1:Исследовать и решить уравнение с параметром: bx-3x=b³ - 3b²+4b-12, с параметром b. Вынесем в левой части уравнения множитель х за скобки. Получим: (b-3)x=b³-3b²+4b-12. Мы имеем линейное уравнение, число корней которого зависит от того, отличен ли от нуля коэффициент при х или равен нулю. Если b-30, т.е. b3, то уравнение имеет единственный корень х=(b³-3b²+4b-12)/(b-3).

Разложив числитель дроби на множители, получим, что x=(b-3) (b²+4)/(b-3). Отсюда: X=b²+4. Если b-3=0, т. е. b=3, то уравнение принимает вид 0х=0. В таком случае любое число является корнем уравнения. Итак, мы нашли, что при b3 уравнение имеет единственный корень b²+4, а при b=3 любое число является корнем уравнения.

Пример 2. Решить уравнение с параметром: аx²+(a²-1)х+(а-1)²=0, с параметром а. Данное уравнение при а=0 является линейным, а при а0-квадратным. Рассмотрим каждый из этих случаев. Если а=0, то данное уравнение обращается в линейное уравнение – х+1=0, которое имеет только один корень х=1.

Пусть а0. Тогда мы имеем квадратное уравнение аx²+(a²-1)х+(а-1)²=0. Найдём его дискриминант: D=(a²-1)²-4a(a-1)²=(a-1)²((a+1)²-4a)=(a-1) 4. Так как D0 при любом значении а, то это уравнение при любом а имеет корни. Если а=1, то D=0, и это уравнение имеет единственный корень. Найти его можно, подставив в уравнение вместо а число 1. Получим x²=0. Отсюда х=0.

Если а1, то D0, и уравнение имеет два корня: х 1 =1-a²-(а-1)²/2a=-2a²+2a/2a=1-a, x 2 =1-a²+(a-1)²/2a=-2a+2/2a=1-a/a. Итак, мы нашли, что данное уравнение имеет корень 1 при а=0, корень 0 при а=1, корни 1-а и 1-а/a при а0 и а1.

Примеры нахождения значений параметра.

Найдем все значения параметра а, при которых уравнение lg 2 (1 + х 2 ) + (3а – 2)· lg(1 + х 2 ) + а 2 = 0 не имеет решений. Решение: обозначим lg(1 + х 2 ) = z, z > 0, тогда исходное уравнение примет вид: z 2 + (3а – 2) · z + а 2 = 0. Это уравнение – квадратное с дискриминантом, равным (3а – 2) 2 – 4а 2 = 5а 2 – 12а + 4. При дискриминанте меньше 0, то есть при 5а 2 – 12а + 4 < 0 выполняется при 0,4 < а

Найдем наибольшее целое значение параметра а, при котором уравнение cos2x + asinx = 2a – 7 имеет решение. Решение: преобразуем заданное уравнение: cos2x + asinx = 2a – 7; 1 – 2sin 2 х – asinx = 2a – 7; sin 2 х -1/2 asinx+ a – 4 = 0; (sinх – 2) · [ sinx-(a/2-2) ] = 0 Решение уравнения (sinх – 2) · [ sinx-(a/2-2) ]=0 дает: (sinх – 2) = 0; х принадлежит пустому множеству. Или sinх –(a/2-2)=0; х = (-1) n arcsin (a/2-2) + n, n Є Z при | (a/2-2) | 1. Неравенство | (a/2-2) | 1 имеет решение 2 а 6, откуда следует, что наибольшее целое значение параметра а равно 6. Ответ: 6.

Используемые материалы: _0.html _0.html «Уравнения и неравенства с параметром» А. Х. Шахмейстер. С.-Петербург Алгебра.8 класс - Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк и т.д.2010 г.