Журнал «Математика» 1/2012 Е. Зудина г. Москва АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

Журнал «Математика» 1/2012 БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ Текстовые задачи на применение навыков счета в повседневной жизни. Задача В1 Задачи на интерпретацию графиков и диаграмм, на соотнесение текстового описания реального процесса с графиком динамической числовой характеристики этого процесса. Задачи представлены в виде графиков или диаграмм. Задача В2

Журнал «Математика» 1/2012 Задачи, в которых рассматриваются простые жизненные ситуации, связанные с выбором тарифных планов, заказом и доставкой товаров, выбором наиболее короткого пути. Задача В4 Задачи на анализ явления, описываемого формулой функциональной зависимости. Задача В12 Задача В10 Практическое задание на использование вероятностных моделей.

Журнал «Математика» 1/2012 Несложное показательное, логарифмическое или иррациональное уравнение (или неравенство). Задача В5 Задачи относятся к разделу математического анализа. Задача В8

Журнал «Математика» 1/2012 Проверяемые умения Для решения требуется Задача В1 Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Внимательно читать условие и аккуратно вычислять, тем самым укрепляя необходимую базу для решения более сложных задач (В13). Невнимательное чтение условия задачи и неверные вычисления приводят к возникновению ошибок.

Журнал «Математика» 1/ Сумка стоит 1450 рублей. Во время распродажи скидка на все товары составляет 20%. Сколько рублей стоит сумка во время распродажи? Найдем, чему равны 20% от 1450 рублей: р. Цена понизилась на 290 рублей. Новая цена равна: 1450 – 290 = 1160 р. Решение. Ответ: 1160.

Журнал «Математика» 1/ киловатт-час электроэнергии стоит 3 рубля 30 копеек. Счетчик электроэнергии 1 октября показывал киловатт-часов, а 1 ноября – киловатт-часа. Сколько рублей нужно заплатить за электроэнергию в октябре? Решение. Ответ: 580,8. Найдем, сколько электроэнергии было использовано за октябрь: – = 176 кВт.ч. Так как 1 киловатт-час электроэнергии стоит 3 р. 30 к., то заплатить нужно 3,3 · 176 = 580,8 р.

Журнал «Математика» 1/2012 Проверяемые умения Для решения требуется Задача В2 Уметь интерпретировать графики, извлекать из них простейшую числовую информацию и делать необходимые выводы. Уметь делать простейшие выводы на основании графика функциональной зависимости. Уметь соотносить текстовое описание реального процесса с графиком динамической числовой характеристики этого процесса. Уметь извлекать из графика качественную и количественную информацию о процессе.

Журнал «Математика» 1/ На диаграмме показано количество людей, побывавших в космосе в течение каждого года с 1961 по 1982 год. По горизонтали указываются годы, по вертикали – количество людей, побывавших в космосе в данном году. Определите по диаграмме, сколько было таких лет, когда в космосе побывало ровно 6 человек.

Журнал «Математика» 1/2012 Решение. Найдем на вертикальной оси число 6 и проведем горизонтальную прямую. Она «касается» четырех столбиков: 1972, 1974, 1976 и 1977 годы. Ответ: 4.

Журнал «Математика» 1/ На графике показано изменение давления в паровой турбине после запуска. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат – давление в атмосферах. Когда давление достигает определённого значения, открывается клапан, выпускающий часть пара, и давление падает. Затем клапан закрывается, и давление снова растет. Определите по графику, сколько минут прошло между первым и вторым открытием клапана

Журнал «Математика» 1/2012 Между первым и вторым открытием клапана прошло 10 – 4 = 6 мин. Решение. Первый раз клапан открылся через 4 мин. после запуска. Давление стало падать, пар уже не так сильно давил на клапан, и он закрылся. Давление снова стало расти и через 10 мин. после запуска вновь достигло критического давления в 5 атмосфер. Клапан открылся во второй раз. Эти моменты отметим на графике. Ответ: 6.

Журнал «Математика» 1/2012 Проверяемые умения Для решения требуется Задача В4 Уметь применять математические методы для решения задач из различных областей науки и практики. Уметь выполнять преобразования выражений, включающих арифметические операции. Уметь сравнивать числа и делать обоснованный выбор. Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

Журнал «Математика» 1/2012 Компания- перевозчик Стоимость перевозки одним автомобилем (р. за каждые 100 км) Грузоподъемность одного автомобиля (тонн) А32003,5 Б41005 В Для транспортировки 40 тонн груза на 1300 км можно воспользоваться услугами одной из трех транспортных компаний. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждой компании указаны в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку груза?

Журнал «Математика» 1/2012 Решение. Вычислим число поездок для перевозки 40 тонн. Для этого разделим массу груза на грузоподъёмность каждого автомобиля и округлим полученный результат с избытком. Например,. Округлив, получим 4 поездки. Компания- перевозчик Стоимость перевозки одним автомобилем (р. за каждые 100 км) Грузоподъемность одного автомобиля (тонн) А32003,5 Б41005 В950012

Журнал «Математика» 1/2012 Расчёты можно разместить в таблице: Заказ получается дешевле всего, если выбрать перевозчика Б. Ответ: Компания- перевозчик АБВ Стоимость перевозки (р. за каждые 100 км) Стоимость одной поездки 3200 · 13 = = · 13 = = · 13 = = Грузоподъемность автомобиля (тонн) 3,5512 Число поездок 1284 Стоимость всей перевозки 12 · = = · = = · = =

Журнал «Математика» 1/2012 Проверяемые умения Для решения требуется Задача В12 Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Уметь применять математические методы для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Уметь интерпретировать результат и учитывать реальные ограничения.

Журнал «Математика» 1/ Если быстро вращать ведро с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведра сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в Ньютонах, равна, где m – масса воды (кг), v – скорость движения ведра (м/с), g – ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с 2 ), L – длина веревки (м). С какой минимальной скоростью надо вращать ведро, чтобы вода не выливалась, если длина веревки равна 0,784 м? Ответ выразите в м/с.

Журнал «Математика» 1/2012 Задача сводится к решению неравенства P(v) 0. Подставим в формулу давления данные задачи: тогда необходимо решить неравенство Учитывая, что m > 0, получим: откуда Учитывая, что v > 0, получим: v 2,8 м/с. Решение. Ответ: 2,8.

Журнал «Математика» 1/2012 Проверяемые умения Для решения требуется Задача В10 Уметь строить и исследовать простейшие математические модели. Знать основные понятия теории вероятностей и статистики. Уметь проводить доказательные рассуждения при решении задач.

Журнал «Математика» 1/2012 Решение. Вероятность события А, связанного с опытом с равновероятностными исходами, вычисляется по формуле Возможны шесть исходов, то есть n = 6. Благоприятствуют событию А = {выпало не менее 4 очков} три исхода, т.е. k = 3. Следовательно, Ответ: 0,5. 1. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не менее 4 очков?

Журнал «Математика» 1/2012 Броски Исходы Исход 1Исход 2Исход 3Исход 4 Первый бросок Второй бросок Таким образом, n = 4. Благоприятствует событию А = {оба раза выпал орел} исход 3, т.е. k = 1. Следовательно, Решение. Возможны четыре исхода: 2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найти вероятность того, что оба раза выпадает орел? Ответ: 0,25.

Журнал «Математика» 1/2012 Проверяемые умения Для решения требуется Задача В5 Уметь решать уравнения и неравенства. Знать, что данное уравнение (неравенство) сводится к линейному. Такие уравнения (неравенства) являются базовыми: без них невозможно продвинуться в решении более сложных задач.

Журнал «Математика» 1/2012 Решение большинства показательных уравнений после преобразований сводится к решению простейших показательных уравнений вида: 1. откуда f(x) = b. 2. откуда f(x) = g(x), где a > 0, a 1.

Журнал «Математика» 1/ Решите уравнение Решение. Перепишем данное уравнение в виде откуда 5 – x = 3, значит, x = 2. Ответ: Решите уравнение Решение. Перепишем данное уравнение в виде –x – 4 = 2, значит, x = –6. Ответ: – 6.

Журнал «Математика» 1/2012 Решение многих логарифмических уравнений после преобразований сводится к решению логарифмических уравнений вида: 1. где a > 0, a 1. Для решения такого уравнения достаточно знания определения логарифма, из которого вытекает, что f(x) = а b. 2. откуда f(x) = g(x), причем a > 0, a 1. Решив такое уравнение, необходимо проверить корни полученного уравнения на выполнение одного из неравенств: f(x) > 0 либо g(x) > 0.

Журнал «Математика» 1/ Решите уравнение log 6 (x + 1) = 2. Решение. Из определения логарифма следует, что x + 1 = 6 2, откуда х = 35. Ответ: 35.

Журнал «Математика» 1/2012 Для решения несложных иррациональных уравнений достаточно знать определение арифметического квадратного корня: Арифметическим квадратным корнем из числа a называется такое неотрицательное число b, квадрат которого равен а. Таким образом, если одновременно выполняются два условия: 1. b a = b 2.

Журнал «Математика» 1/ Решите уравнение Решение. Из определения следует, что 1 – 3x = 4 2, откуда –3x = 15. Следовательно, x = –5. Ответ: –5.

Журнал «Математика» 1/2012 Проверяемые умения Для решения требуется Задача В8 Уметь выполнять действия с функциями. Знать геометрический смысл производной. Знать уравнение касательной к графику функции. Знать производные основных элементарных функций. Уметь читать график производной функции. Уметь применять производную для исследования функции.

Журнал «Математика» 1/ На рисунке изображен график функции y = f(x). Касательная к этому графику, проведенная в точке –4, проходит через начало координат. Найдите f '( – 4).

Журнал «Математика» 1/2012 O(0;0) A(–4; –2) Решение. Построим касательную, которая проходит через начало координат и указанную точку А с абсциссой x 0 = –4. Значение производной функции f(x) в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в данной точке. Если уравнение прямой имеет вид y = kx + b, то f '(x 0 ) = k.

Журнал «Математика» 1/2012 Найдём угловой коэффициент прямой y = kx + b, проходящей через точки А(–4; –2) и О(0; 0), составив систему: Следовательно, f '( –4 ) = 0,5. Ответ: 0,5.

Журнал «Математика» 1/ На рисунке изображен график производной функции f(x), определённой на интервале (–6; 3). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = –2x + 17 или совпадает с ней.

Журнал «Математика» 1/2012 –3–3 y = –2 M –2–2 Решение. Если касательная к графику функции параллельна прямой y = –2x + 17 или совпадает с ней, то значение производной в точке касания равно –2, так как f '(x 0 ) = k. Найдем искомую абсциссу. Для этого проведем горизонтальную прямую y = –2. М – точка пересечения этой прямой с графиком производной. Абсцисса точки М равна –3. –3 – искомая абсцисса точки касания. Ответ: –3.

Журнал «Математика» 1/2012 ВЫСОКИЙ УРОВЕНЬ Уметь решать уравнения и неравенства. Задача С1

Журнал «Математика» 1/ Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один корень. Решение. Рассмотрим непрерывную функцию 1. При всех x 1 где значит, f(x) возрастает.

Журнал «Математика» 1/2012 Ответ: [–8; 6]. 2. При всех x 1 где значит, f(x) убывает. 3. Следовательно, х = 1 – точка минимума функции f (x), и область значений функции E(f) = [ f (1); ). Уравнение имеет корень тогда и только тогда, когда f (1) 0, то есть