Проект «Математика ставит эксперимент» Морохова Лариса Александровна, учитель математики МОУСОШ 50 г. Воронежа классы

Как всё начиналось ? Чем больше становится стаж общения учащихся с математикой, тем более абстрактными становятся в учебнике математические задачи. Ученики сталкиваются с проблемой: «А нужна ли будет математика в нашей дальнейшей профессии?» И тогда мы с учениками 10 класса стали работать над проектом «Математика ставит эксперимент», результатом которого стала составленная нами книга прикладных задач по большинству тем математики. Многие эксперименты опасно или невыгодно проводить опытным путём. Математика приходит на помощь и ставит свой эксперимент.

1. Сжатием заготовки на прокатном стане называют величину Δh = h 1 – h 2, где h 1 и h 2 толщина заготовки до и после прокатывая. Докажите, что Δh = 2d sin2( /2), где d – диаметр вала и – угол захвата. У к а з а н и е. Из прямоугольного треугольника АОВ: ОВ = 0,5 d cos. Δh = h 1 - h 2 = 2 ВС = 2 (0,5d – ОВ) = 2 (0,5d – 0,5dcos ) = d(1 - cos ) = 2dsin2( /2). Тригонометрия

2. Скаты двухскатной и скаты ADFE и CDEF четырёхскатной крыши с горизонтальной плоскостью образуют угол, а скаты ADE и BCF – угол β. Для какой крыши – двух- или четырёхскатной необходимо меньше материала?

Площадь двухскатной крыши а четырёхскатной – Чтобы сравнить эти площади, рассмотрим их разность Поскольку b > 0, m > 0, 0 < β < 90º и 0 < < 90 º, то при β < получим S2 – S1 < 0; при = β, S2 – S1 = 0, а при β >, S2 – S1 > 0. Итак, если все скаты обеих крыш будут одинаково наклонены к горизонтальной плоскости, то на обе крыши нужно одинаковое количество кровельного материала. Если скаты ADE и BCF четырёхскатной будут иметь больший угол наклона, чем скаты ABEF и DCFE, то кровельного материала нужно будет больше, чем для двухскатного, а при меньшем угле - меньше.

Предел функции Температура нагревания металлического стержня на расстоянии от места нагревания (до t =1000 ) определяется по формуле где расстояние в дециметрах. Определите граничные значения температуры стержня, на расстоянии 1 м от места нагревания. Можно ли такой стержень взять в руку?

S Предел функции 2. Какую работу нужно выполнить, чтобы откачать воду из ямы глубиной h м и площадью S м 2 ? h

1. Профиль моста имеет форму параболы с высотой центральной части 10 м и длиной основания 120 м. Какой должен быть наклон насыпи на концах моста? 120 м 10 м 0 у х АВ Производная функции

2. Расходы на топливо, необходимое для движения океанского танкера, пропорционально кубу его скорости и составляют 200 руб. в час при скорости 10 узлов, а все прочие расходы составляют 1000 руб. в час. Найти наиболее экономичную скорость движения. Вычислить дополнительную прибыль, если расстояние до порта назначения 1000 морских миль (1 миля=1852 м). Производная функции Фото из БЭ Кирилла и Мефодия

1 этап: если принять за х узлов наиболее экономичную скорость движения океанского танкера, то функция расхода средств за один рейс будет иметь вид 2 этап (работа с моделью): При Р = 0, Решив уравнение, получим, что скорость 13,6 узлов является наиболее экономичной. Дополнительная прибыль за один рейс в 1000 морских узлов составит 970 руб. Ответ

Производная функции 3. Конструируя трансформаторы переменного тока, стремятся к тому, чтобы железный сердечник сечения как можно больше заполнял внутреннюю область цилиндрической катушки. Определите размеры х и у сечения сердечника, если радиус катушки равен R. Р е ш е н и е. S – площадь сечения сердечника. ОА = у, АЕ = х, ОЕ = R, АОЕ =. S = (2y) 2 – 4(y – x) 2, x = Rsin, y = Rcos. S = (2R cos ) 2 – 4(Rcos - Rsin ) 2 = =4R 2 sin2 - 4R 2 sin 2 S = (4R 2 sin2 - 4R 2 sin 2 ) = = 8R 2 cos2 - 4R 2 sin2. 4R 2 (2cos2 - sin2 ) = 0, 2cos2 - sin2 = 0, 5 sin(2 - arctg2) = 0. =1/2 arctg2, 31º43.

4. По трубе, сечением которой является круг радиусом r, течёт вода. Известно, что скорость течения пропорциональна отношению площади поперечного сечения (сегмента), заполненного водой, к длине дуги поперечного сечения (сегмента), смоченного водой. При каком заполнении трубы водой скорость течения будет наибольшей? Производная функции

Р е ш е н и е. Пусть - центральный угол сегмента заполнения трубы водой (в радианах), S – площадь этого сегмента. Площадь сектора ОАСВ равна а площадь треугольника АОВ - Поэтому S = 1/2r2 - 1/2r2sin = 1/2r2( - sin ). tg =. 4,5 радиан = 258º.

5. Исследовать производственную функцию, выражающую зависимость выручки от реализации товара. Выручка от реализации товара по цене p составляет: Производная функции

6. Выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью: π(q) = R(q) - C(q) = q 2 - 8q + 10 Решение: π'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 q extr = 4 При q < q extr = 4 π'(q) < 0 и прибыль убывает При q > q extr = 4 π'(q) > 0 и прибыль возрастает При q = 4 прибыль принимает минимальное значение. Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) = p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений или оборудования. Если же фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных мощностей.

Математическое моделирование Корабль из порта А должен пройти между двумя опасными зонами В и С, в которых есть подводные камни, каким должен быть его путь? Исследовать, всегда ли задача будет иметь решение. щёлкни

Список литературы 1. Апанасов П.Т. Методика решения задач с экономическим содержанием. – М.: Высшая школа, Возняк Г.М. Взаимосвязь теории с практикой в процессе изучения математики. – К.: Радянська школа, Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, Электронные издания 1. Большая Российская энциклопедия. - © «Кирилл и Мефодий», Коллекция анимаций. -