Подготовка к ГИА модуль «Геометрия» Треугольники учитель математики МОУ «СОШ с. Брыковка Духовницкого района Саратовской области» Шабанова Татьяна Александровна 2012 учитель математики МОУ «СОШ с. Брыковка Духовницкого района Саратовской области» Шабанова Татьяна Александровна 2012

Высота, медиана, биссектриса треугольника Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой А М АМ – медиана Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника А А1А1 АА 1 – биссектриса Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется перпендикуляром Н А АН - высота

Средняя линия треугольника Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. КМ КМ – средняя линия Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны А В С

Cерединный перпендикуляр Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярна к нему а АВ а – серединный перпендикуляр к отрезку АВ Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему М АВ О m m – серединный перпендикуляр к отрезку АВ, О – середина отрезка АВ М Є m АМ = ВМ

Точка пересечения серединных перпендикуляров Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке А В С m n p O m, n, p пересекаются в точке О

Точка пересечения биссектрис треугольника Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке АВ С К СК – биссектриса

Точка пересечения высот треугольника Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке АС В К М Р О О – точка пересечения высот

Точка пересечения медиан треугольника Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины АВ С К М Р О ВР, СК, АМ – медианы треугольника АВС О – точка пересечения медиан СО : КО = 2 : 1 АО : МО = 2 :1 ВО : РО = 2 : 1

Равнобедренный треугольник Равносторонний треугольник Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним АВ = ВС А В С А В С АВ = АС = ВС

Свойства равнобедренного треугольника А С В В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

Прямоугольный треугольник Треугольник, у которого один из углов прямой, называется прямоугольным АВ и АС – катеты ВС - гипотенуза А В С Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ВС² = АВ² + АС²

Свойства прямоугольного треугольника Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90° Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30° С А В

Признаки равенства треугольников I признак По двум сторонам и углу между ними II признак По стороне и прилежащим к ней углам III признак По трем сторонам АN М КС В Если

Признаки равенства прямоугольных треугольников По двум катетам Если АВ = КМ, АС = KN, то АВС = KMN АN М КС В По катету и прилежащему острому углу Если AB = KM,

Неравенство треугольника Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон А В С АВ < ВС + АС АС < АВ + ВС ВС < АВ + АС

Сумма углов треугольника равна 180° A BC

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним

Зависимость между величинами сторон и углов треугольника В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета 2. Если два треугольника равны, то треугольник равнобедренный

Теорема Фалеса Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки а b А1А1 А2А2 А3А3 А 1 А 2 = А 2 А 3 = А 3 А 4 А4А4 Проведем параллельные прямые В1В1 В2В2 В3В3 В4В4 В 1 В 2 = В 2 В 3 = В 3 В 4

Подобие треугольников Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого А С В В1В1 А1А1 С1С1

Признаки подобия треугольников 1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны 3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны А В СКМ Р Если

Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0° до 180° СА В Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему

Основное тригонометрическое тождество sin² x + cos² x = 1 Теорема о площади треугольника Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними a b C

Теорема синусов Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов а b c C BA

Теорема косинусов Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними а b c C BA

9. (демонстрационный вариант 2013 г) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС внешний угол при вершине С равен 123°. Найдите величину угла АВС. Ответ дайте в градусах. Решение:

9. В треугольнике АВС АD – биссектриса, угол С равен 50°, угол САD равен 28°. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах. Решение:

9. Один острый угол прямоугольного треугольника в два раза больше другого. Найдите меньший острый угол. Ответ дайте в градусах. Решение:

24 (демонстрационный вариант 2013 г) В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С известны катеты: АС = 6, ВС = 8. Найдите медиану СК этого треугольника Решение: СВ А К Ответ: 5

24. В треугольнике АВС угол С равен 28°. Внешний угол при вершине В равен 68°. Найдите угол А. Решение:I способ: Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Следовательно

25. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, являющейся их серединой. Докажите равенство треугольников АВС и ВАD. Решение: ODB = AOC (по двум сторонам и углу между ними) AO = OB, DO = OC по условию,

25. В треугольнике АВС М – середина АВ, N – середина ВС. Докажите подобие треугольников MBN и ABC. Решение: Так как MN || АС, то

25. В прямоугольном треугольнике KLM с прямым углом L проведена высота LP. Докажите, что LP² = KP·MP. Решение:KLM KPL по двум углам (